利用“不动点”法巧解高考题

1利用“不动点”法巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．1不动点的定义一般的，设()fx的定义域为D,若存在0xD，使fxx()00成立，则称x0为fx()的不动点，或称00(,)xx为fx()图像的不动点。2求线性递推数列的通项定理1设()(01)fxaxba，，且x0为fx()的不动点，{}an满足递推关系1()nnafa，2,3,n，证明{}axn0是公比为a的等比数列。证：∵x0是fx()的不动点，所以axbx00，所以bxax00，所以anxaabxaaaxaaxnnn0101010()()··，∴数列{}axn0是公比为a的等比数列。例1（2010上海文数21题）已知数列na的前n项和为nS，且585nnSna，*nN(1)证明：1na是等比数列；(2)求数列nS的通项公式，并求出使得1nnSS成立的最小正整数n.证：(1)当n1时，a114；当2n时，anSnSn15an5an11，即1651nnaa(2)n即15166nnaa(2)n，记51()66fxx，令()fxx，求出不动点01x，由定理1知：151(1)(2)6nnaan，又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列。(2)解略。3求非线性递推数列的通项定理2设()(00)axbfxcadbccxd，，且xx12、是fx()的不动点，数列2{}an满足递推关系afann()1，2,3,n，（ⅰ）若12xx，则数列{}axaxnn12是公比为axcaxc12的等比数列；（ⅱ）120xxx，则数列{}10axn是公差为2cad的等差数列。证：（ⅰ）由题设知111111111()axbbdxxxdxbacxxcxdacx；同理222().dxbacxx∴axaxaabcadxaabcadxnnnnnn1112121122()()nnacxabdxacxabdx1122nnaxacxacxax，所以数列{}axaxnn12是公比为acxacx12的等比数列。（ⅱ）由题设知axbcxd＝x的解为120xxx，∴xadc02且bdxacx00＝x0。所以1110000axaabcadxcadacxabdxnnnnn()00000()()()()nnnncadcadbdxacxaxacxaacx000000001()()nnncacxdcxdcxcacxaxacxacxax00122naddcccadacxaxacc000112nnccacxaxaxad，所以数列{}10axn是公差为2cad的等差数列。例2（2006年全国Ⅱ卷22题）设数列na的前n项和为nS，且方程02nnaxax有一根为1nS)(*Nn。求数列na的通项公式。解：依题211a，且0)1()1(2nnnnaSaS，将1nnnSSa代入上式，得3121nnSS，记12fxx，令()fxx，求出不动点01x，由定理2（ⅱ）知：12111111nnnnSSSS，所以数列11nS是公差为1的等差数列，所以1nnSn，因此数列na的通项公式为11nan。例3（2010年全国卷Ⅰ22题）已知数列na中，1111,.nnaaca（Ⅰ）设51,22nncba，求数列nb的通项公式.（Ⅱ）求使不等式13nnaa成立的c的取值范围.解：（Ⅰ）依题1525122nnnnaaaa，记52()2xfxx，令()fxx，求出不动点121,22xx；由定理2（ⅰ）知：11112222nnnnaaaa，12111222nnnnaaaa；两式相除得到1122111422nnnnaaaa，所以212nnaa是以14为公比，112212aa为首项的等比数列，所以，112132,2,14242nnnnnaaa从而124.33nnb（Ⅱ）解略。定理3设2()(0)2axbfxaaxd，且xx12、是fx()的不动点，数列{}an满足递推关系afann()1，2,3,n，则有2111122()nnnnaxaxaxax；若11120axax，则412lnnnaxax是公比为2的等比数列。证：∵xx12、是fx()的不动点，∴211dxbax，222dxbax。21112122(2)(2)nnnnnnaxaabaadxaxaabaadx2211222222nnnnaabaaxaxbaabaaxaxb22211122222(2)()(2)nnnnnnaaaxxaxaaaxxax，又11120axax，则120nnaxax，∴111122ln2lnnnnnaxaxaxax，故12lnnnaxax是公比为2的等比数列。例4（2010东城区二模试题）已知数列{}nx满足14x，21324nnnxxx．⑴求证：3nx；⑵求证：1nnxx；⑶求数列{}nx的通项公式．证：⑴、⑵证略；⑶依题21324nnnxxx，记23()24xfxx，令()fxx，求出不动点121,3xx；由定理3知：2213(1)112424nnnnnxxxxx，2213(3)332424nnnnnxxxxx，所以2111133nnnnxxxx，又111413343xx，所以133111log2log33nnnnxxxx．又1311log13xx，令31log3nnnxax，则数列{}na是首项为1，公比为2的等比数列．所以12nna．由31log3nnnxax，得133nannxx．所以11121231313131nnnnanax．利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。5定理4设222()(0),4bbfxaxbxaa且0x是fx()的最小不动点，数列{}an满足递推关系afann()1，2,3,n，则有2010().nnaxaax定理5设23322()(0),3273bbbfxaxbxxaaaa且0x是fx()的不动点，数列{}an满足递推关系afann()1，2,3,n，则有3010().nnaxaax