利用图形的面积达成问题解决的技巧研究.2

1利用图形的面积达成问题解决的技巧研究提要：在一定条件下，利用“面积比与线段比相互转换”，或进行“图形的等积变形”，会带来问题解决过程的方便、快捷；使复杂问题简单化。可利用图形面积解题而设计的数学问题具有数形结合思想与方法，在中考数学压轴题、数学竞赛的命题中均属常见题型。由于思维定势，不少学生不曾想到从图形的面积关系去寻求破题点，使思维受阻。本文就利用图形面积达成问题解决的技巧作如下研究，以期弥补教学过程中这方面分析问题解决问题的思维方式方法的缺失。关键词：图形的面积比与线段比的转换、图形的等积变形一、图形的面积比与线段比相互转换基本图形：（图形特征：有公共顶点，且底边在同一条直线上的三角形）如图：D是△ABC上的点，若ADCS＝1s,CDBS＝2s则DBADss21、ABADsss211、ABDBsss212。逆过程也成立。特别地：AD＝DB21SS，不等关系：DBADss21，DBADss21。变式数学命题：1、如图，四边形ABCD中，BD、AC相交于点O,若DOCAOBss，求证：AO∶OC＝DO∶OB。（课本例题）解析：如图所示，由题意得：OBDOOCAOSS。点评：应用基本图形，SS作为中间比转换线段比，方便快捷。2、如图，BE是△ABC中线，D在BC上且BD＝2DC,AD、BE相交于点G。3EGCS,4GCDS.求ABCS。解析：如图所示，由题意得：BD＝2DCGDCBDGSS2＝8，CE＝EA15843BCEABESS，∴ABCS＝2BECS＝30。点评：把握问题的部分与部分、部分与整体间的联系。3、如图，G是△ABC内一点，CG、BE、CF的延长线分别与AB、AC、BC相交于点F、E、D。4AGCS，25AGFS，7BGFS。求AEGS。解析：如图所示，由题意得：.528745BGCBGCBGCBFGAGCAFGSSSSSSGCFG令：SSAGE，则4EGCSS。从而得：GBEGSS528-457S=1130。点评：不被“基本图形”的穿插交错所迷惑。从线段比寻求对应面积比是关键。4.如图，△ABC中，D、E分别是AC、BC中点，BF＝31BA,BD、CF交于点G，联结EG。⑴、求证：GE∥AC;⑵、求BEGBFGSS:的值。解析：⑴、如图：联AG，不妨设1BGFS，不失一般性。12FBAFSSBFGAFG2AFGS3ABGS.AD＝DC,CDGADGSSCDBABDSS3ABGCGBSS，又BF＝31BA4133!ABCCBFSS12ABCS3CDGS.∴CDGCBGSSG是BD的中点。又E是BC中点GE∥AC.⑵、由⑴知1BGFS，23BEGS32:BEGBGFSS。点评：联结AG，构造多个“基本图形”实现线段比与面积比相互转换；量化三角形面积使复杂问题简单化（形数转换思想）；善于提取“基本图形”，训练全方位洞察能力。本题问题⑴破题点是证G为BD中点，即CDGCBGSS。5、如图，ABCD是正方形，E、F分别在AB、BC上，AF、CE相交于点G，已知：35正方形S，5ABFS，14BCES。求：BEGF四边形S解析：如图所示，联结AC..由题意：,54352114ABCBECSSABBEbaEBAE41ab4c=5－5a，同理，72ABCBAFSSBCBFdcFCBF52cd25。3FABCDEGHFABCDEGH2x3yyx图3FABCDEGH∴adacb552514145277a。点评：联结AC、构造“基本图形”，利用图形的面积部分与整体的比转换对应线段比。6、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，AD＝BE＝2，AE、BD相交于F，求：ABFS解析：∵ABES＝5.令：BFES＝x2，则根据题意且具有的对称性：，得DFCS＝EFCS＝x3；∵x8＝215，∴x4＝815∴ABFS＝5－815＝825。点评：联结CF，构造“基本图形”，便于线段比与面积比转换。思维过程方便快捷。7、如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点F，FG∥AB交BC于G，FH∥AC交BC于H。设ABCS＝1.⑴、如图1，D、E分别为AB、AC中点时，求GFHS。⑵、如图2，当21DBAD,3ECAE时，求GFHS。⑶、如果aDBAD，bECAE，求证：GFHS＝211ba。解析：⑴、∵点F是重心，∴32CDCFBDGF。又BD＝DA∴31ABGF.∵FG∥AB，FH∥AC△FGH∽△ABC912ABGFSSABCFGH.∵ABCS＝1.GFHS＝91。⑵、如图3，由题意，令：xSADF，ySEFC。不失一般性。则xSDFB2，ySAEF3ySyxEFBFBCF。图1图22x3x3x2332FACBDE4图4axxbyyFABCDEGHEADBCxSBCF2FCDF。∵FG∥AB，∴31BDFG，又2!DBADAB＝DB23.∴92ABFG。∵FG∥AB，FH∥AC△FGH∽△ABC8142ABGFSSABCFGH。∵ABCS＝1.GFHS＝814。⑶如图4，仿⑵得：由题意，令ySEFC，xSDFB。不失一般性。ySbyxaEFBFBFC1bxaSBFC1baSSFDFCBFDBFC111baaCDFC＝DBFG（∵FG∥AB）,又aDBAD11aDBAB11baABFG∵FG∥AB，FH∥AC△FGH∽△ABC2211baABGFSSABCFGH。∵ABCS＝1.GFHS＝。211ba。问题⑴、⑵可验证⑶的正确性。点评：本题从特殊到一般逐步变式，全方位进行面积比、线段比转换达成问题解决。唯一一条辅助线，构造出多个“基本图形”，建立了信息间的有效联系。关键从复杂的复合图形中提取“基本图形”，进行信息转换，使复杂问题变得简单起来，在不失一般性条件下设入参数会使思考与表述带来方便。面积比、线段比转换实质是形数转换。变式训练题：1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于E,25AEDS,35DECS。求梯形ABCD的面积。2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AB的中点，已知，sSDCE，求梯形ABCD的面积。3、如图，正方形ABCD边长为8，点E在形外，ED＝EC,48EACS.求EDAS。ADBCEABCDE54、如图，平行四边形ABCD中，E在CD上，DE﹕EC＝2∶3，AE、DB相交于点F，联结EB。求：ABFEBFDEFSSS::的值。5、如图，△ABC中，∠C＝90°,D是AB上一点，DE⊥AB于D交AC于E,AD＝2,DB＝3,sSADE,sSDBCE2.求ABCS未完待续FDCABEACBED