利用均值不等式求最值的方法

利用均值不等式求最值的方法均值不等式ababab200(，，当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑1.凑系数例1.当04x时，求yxx()82的最大值。解析：由04x知，820x，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2828xx()为定值，故只需将yxx()82凑上一个系数即可。一个系数即可。yxxxxxx()[()]()821228212282282·当且仅当282xx，即x＝2时取等号。所以当x＝2时，yxx()82的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2.凑项例2.已知x54，求函数fxxx()42145的最大值。解析：由题意知450x，首先要调整符号，又()42145xx·不是定值，故需对42x进行凑项才能得到定值。∵xx54540，∴fxxxxx()()421455415432541543231()xx·当且仅当54154xx，即x1时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3.分离例3.求yxxxx271011()≠的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。yxxxxxxxx227101151411415()()()当x10，即x1时yxx214159()·（当且仅当x＝1时取“＝”号）。当x10，即x1时yxx521411()·（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。∴yxxxx271011()≠－的值域为(][)，，19。评注：分式函数求最值，通常化成ymgxAgxBAm()()()00，，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例4.已知abab0021，，，求tab11的最小值。解法1：不妨将11ab乘以1，而1用a＋2b代换。()()()111112ababab··12232322322baabbaabbaab·当且仅当2baab时取等号，由22121122baababab，得即ab21122时，tab11的最小值为322。解法2：将11ab分子中的1用ab2代换。abaabbbaabbaab2212232322评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到tbaab32，而2ba与ab的积为定值，即可用均值不等式求得tab11的最小值。三、换元例5.求函数yxx225的最大值。解析：变量代换，令tx2，则xttytt222021()，则当t＝0时，y＝0当t0时，ytttt121122124·当且仅当21tt，即t22时取等号。故xy3224时，max。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例6.求函数yxxx21521252()的最大值。解析：注意到2152xx与的和为定值。yxxxxxx222152422152421528()()()()()又y0，所以022y当且仅当2152xx，即x32时取等号。故ymax22。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。［练一练］1.若02x，求yxx()63的最大值。2.求函数yxxx133()的最小值。3.求函数yxxx2811()的最小值。4.已知xy00，，且119xy，求xy的最小值。