关于卫星和和飞船跟踪测控问题的数学模型

关于卫星和和飞船跟踪测控问题的数学模型朱诗磬，叶骏，陈资辛编者按：本文能基于椭圆轨道建立卫星和飞船的跟踪测控问量。本文能较好地研究了球冠的表面积和蜂巢式覆盖数学模型，利用MATLB软件。计算跟踪所需的最少测控站数量，并用神舟五号飞船的相关资料进行模型检测。摘要：本文针对卫星和飞船的跟踪和测控问题。对不同的情形建立不同的模型，利用MATLB软件求得了对卫星和飞船进行全程测控所需要的最少测控数量，并搜集了神舟五号飞船的相关信息，对其观测站的测控范围进行分析，较完善的解决了本问题，针对问题1，未考虑地球自转的影响，首先给出了一种轨道为椭圆时的求解算法，当轨道为圆形时，我们给出了一种更简单的数学模型利用MTALB软件，求得了不同的模型，利用MATLB软件求出对不同类型不同轨道倾角的卫星实现全程跟踪测控时的最少测控站数量而且可以求得在不同纬度上测控站的数量。针对问题3，搜索了神舟五号飞船的运行资料和发射时测控站的分布资料，用时间表示测控站的测控范围。关键词：跟踪测控；轨道椭圆；测控站；1问题分析（略）2符号说明H：卫星或飞船运行时离地面的高度E：测控站测量卫星的起，止俯仰角，3En：全程跟踪时所需要建立的测控站数量G：表示万有引力，；22-11/kgmN1067.6G1a：表示卫星或飞船相对地面的偏移角度s：表示一个观测站所观测到的面积S：卫星或飞船运行球体的表面积M：地球的质量，kg106M24R：地球半径，6371kmrT：卫星或飞船的运行周期V：卫星或飞船的运行速度：测控站测量卫星时的地心角W：地球自转角速度P：表示覆盖率l：椭圆的弧长3模型假设1）地球近似的看做为球体；2）忽略除地球以外的其他因素对卫星或飞船运动的影响；3）测量设备只能测量到与地平面夹角为3以上的空域；4）把卫星视为一个质点；5）不考虑地球公转的影响。4模型的建立和求解4.1问题1模型建立和求解补充问题一的假设，不考虑地球自转对卫星或飞船的运行带来摄动的影响。4.1.1模型准备公式1把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转过的角度，叫做转到的角，简称到角：2112kk1k-ktan（1）公式2长半轴为a，短半轴为b，焦点在x轴上的标准椭圆方程为：1byax2222（2）公式3椭圆的弧度微分公式为：公式44.1.2基于椭圆轨道下的模型建立于求解若卫星或飞船的运行轨道为椭圆，设卫星运行近地点为A。远地点为A',近地点的距离为,d1AF远地点的距离为12FAd’，测控站测量卫星的起，止俯仰角为E，地球半径为r。如图1所示。由几何关系求得22rdda21，1d-r-2ac，222cba，ace卫星运行的轨道满足的方程式为（2）式。为尽可能减少建立测控站的个数，要使每个测控站尽可能的测控较大的范围，其中测控站位于1F点时刻测控站的范围最广，因此不妨设在点1F建立一个测控站。由于卫星轨道为椭圆模型较为复杂，为此我们给出了一个启发式算法求解。启发式算法的步骤如下：步骤1已知，1F点坐标已知，根据点斜式方程求得1PF的直线方程，再与（2）式联立求得p点的坐标（0x，），当在1F建立一个测控站的弧度为优弧PP’，再根据（3）式求得弧长为1l；步骤2设在地球表面某一点nmF2，处建立测控站，可以求得2PF和2OF的斜率为m-xn-vk00PF1，cmnk1OF，直线1PF到1OF的夹角为的夹角为E900，因此，利用到角公式(1)式，即可求得2F的坐标1m，n，确定2F的位置，2PF与2AF对称，在此利用到角公式即可求得A点的位置，位于2F点处的测控站的范围为劣弧PA，然后再根据（3）式求得弧长2l；步骤3若lll21，则停止，建立2个测控站，分别为1F点与2F点；否则转步骤2；步骤4达到lln1i1，满足此条件的最小数数值i既是至少需要建立的测控站的个数。4.1.3基于圆轨道时的模型建立于求解若卫星或飞船的运行轨道为圆形轨道，也即偏心率e=0是的椭圆轨道，此时仍然可以使用上述算法求解，但对于圆形轨道，可以建立更简单的模型。将本问题转化为数学问题，如图2，假设测控站建立在C点，O点为地球的地心，1F为测控站所在的地平面，GO为地球半径r，GB为卫星运行的高度H,E为测控站卫星的高度G，E为测控站测量卫星的起，止偏仰角，也即使测量范围与地平面的最小夹角，连接AO,BO,由假设（3）客栈劣弧AB既是一个测控站观测卫星的运行的范围，为测控站测量卫星时的地心角，2a是劣弧对应的圆心角，利用代数和几何的相关知识建立数学模型。在三角形BOC中，由正弦定理得）（--sinrsinrH（5）对（5）式化简可以得到劣弧AB所对应的圆心角2Hrrsinarcsin--（6）要实现测控站对卫星全过程跟踪测量，必须满足HABr2n或22n（7）由于测控站的数量为整数，因此需要建立的测控站力量为满足（3）式的条件下的最小整数值22n（8）4.14模型求解地球的平均半径r已知，r=6371.004km，测控站测量卫星的起，止俯仰角已知，12E,进行全程跟踪测控时所需测控站的数量虽卫星的高度不同而不同，人造卫星的轨道就高度而言分为低轨、中轨、高轨三种。当轨道为椭圆时，对于各种轨道分别举例，利用MATLB软件求得了不同高度时需要建立测控站的数量，见表1所示。当轨道为圆时，对于各种轨道分别列举，利用MATLB软件求得了不同软件对不同高度时所需测控站的数量，见表2所示。表1：不同高度的椭圆轨道的测控站的数量低轨道运行测控点中轨道运行测控点高轨道运行测控点神舟六号东方红Ⅰ号嫦娥一号远地点近地点远地点近地点远地点近地点200km347km439km2384km200km51000km1472不同高度的圆轨道的测控站的数量类别低轨道中轨道高轨道高度范围1000km1000km∽20000km20000km以上轨道平均高度343km500km1000km2000km1tm1.5tm2tm30780km测控站个数1210783333问题2问题二的模型建立于求解4.2.1模型准备补充问题二的假设：1）假设卫星或飞船的运行只受到地球自转的影响，不考虑其他的摄动或扰动；2）假设地球自转角速恒定；3)卫星的运行轨道近似为圆。设A点为轨道上一枚卫星，在地球表面的投影为B，当卫星环绕地球运行一周之后，由于地球自转地影响，B点已到达C点，因此A点是绕高地球高度为H的球面S上运行的，在运行过程中相续两圈就会存在经度差异，但纬度无差异。把本问题转化为数学问题，如图3所示。卫星A的运行轨道倾角为7，运行最高点为P与最低点为p'在地球球体表面的投影分别为Q与Q’，卫星仅在Q与Q’范围内运行，因此只需考虑在Q与Q’之间的球冠表面建立测控站，由此可以较少测控站的数量。其中Q与Q’的位置与卫星轨道倾角有关，卫星A相对地球O环绕一周之后,相继两圈后经度差为，当180时，卫星运行轨道在地球表面的投影见图4阴影部分所示，当180时，将Q与Q’之间的表面全部覆盖，见图5阴影部分。4.2.3基于测控站数目最少小原则的模型建立A绕球O旋转一周所用的时间T为vr2HT（9）其中3rvHGM(10)经过时间T后地球自转的角度1w为wTw1(11)当运行国道的倾角为，绕球O环绕m圈时，A相对地球的偏移角度1为lnm11sw（12）卫星相对地球运行时的球面表面积S为2r4HS(13)当180，即ln1smwim时，测控站的数量与m有关，A相对地球偏移1时运行的面积1s为22Ss11（14）有（1）式可得到一个测控站测量A时的地心角HrHcos,)--(sinrsinr(15)利用球冠表面积公式，可得到一个测控站能测看的范围1-rhrh2sHH（16）只要将全部覆盖，即可满足对卫星进行全程跟踪控制，因此至少建立测控站个数n为ssn1（17）当180，即ln1smwim时，A相对地球偏移1时运行面积为2s，此时卫星可以运行的面积全部覆盖，因此建立测控站的数量与m无关运行面积2s为Hrsin-Hrrh2s2）（H（18）至少要建立测控站的数量n为ss-n2S（19）4.2.3基于测控站数码最小原则的模型求解地球的平均半径r已知，r=6371.004km，地球的质量M已知，kg10624M，万有引力已知，2211/kgm1067.6NG,测控站侧卫星的起，止俯仰角已知，112E进行全程测控时所需的测控站的数量不仅与卫星的高度有关，而且和轨道倾角有关人造卫星根据轨道倾角划分为：与赤道同平面的，也即是赤道轨道0；极地轨道，90；顺行轨道，190逆行轨道，(2)90。并对于不同运行高度与轨道倾角分别讨论，利用MATLB软件求解，列举出对于一些不同类型的卫星进行全程跟踪测控所需测控站个数，见表3所示。表3：测控不同类型卫星的所需测控站数量轨道倾角0306090120150卫星运行圈数353535353535卫星近轨道运行（高度范围：1000km以下）300km12295162618301626915500km10106101117122011176101000km774661071161046卫星中高轨道运行（高度范围：1000∽30000km）3000km44233435342310000km331222232212卫星高轨道运行（高度范围：20000km以上）30000km331112121111对于低轨，例如神舟七号轨道倾角为1242.，运行高度为343km，临界圈数为12，环绕圈数小于12时，带入（13）式即可求得所需测控站的个数，当环绕全书大于12时，若要实现全程跟踪测控，至少需要建立48个人测控站。对于中轨，例如东方红Ⅰ号，轨道倾角为5.68，运行的高度为2300km，临界圈数为9，环绕圈数小于9，代入（13）式即可求得所需测控站个数，当测控站数大于9时，如要实现全册跟踪测控，至少需要建立6个测控站。对于高轨，例如地球同步卫星，轨道倾角为0，运行高度为35786km由于同步卫星位于赤道上方，时刻与赤道共面，如要实现全程跟踪测控，至少需要建立3个测控站，对于不同高度及倾斜角时覆盖全程的所需测控站数如表4所示。表4：不同高度及倾斜角时覆盖全程的所需测控站数343km500km1000km10000km倾斜角为30271892倾斜角为604731163倾斜角为9034362044.24基于蜂巢覆盖法的模型建立模型一球的的是覆盖全部可能飞行区域是建立测控站数量的下限利率上可以实现对卫星全程的跟踪测控，但模型为能考虑测控站设定的位置，操作较为复杂，为此我们建立模型二来避免模型一的一些不足。只考虑卫星的覆盖面积为图4所似的情况，将Q和Q’之间的球冠表面全部覆盖，卫星在轨道倾角r固定时，运行到任何位置都可以满足对进行全程跟踪测控。假如从赤道开始建立测控站，利用一个监控站可以观测范伟的地心角，求得在同一程度上全都覆盖时测控站的数量，然后平均分配测控站，在根据测控站所在的纬度，分别求不同纬度下的最少测控站的数量，例如在赤道上，根据一个测控站观测范围的地心角，求得在同一程度上全都覆盖时测控站的数量，其他纬度采用同样的计算方法，由于南北半球对称，不妨对北半球进行研究，如图6所示。图先由赤道开始建立测控站，由（2）式得到一个测控站所能测控的地心角Hrrsinarcsin，在赤道上需建立的测控站数量n1为ibin)1(2cos,221其中i表示从赤道向上第i个测控站，bi表示第i个测控站所在纬度平面上的半径。Hrcsin,其中c表示一个测控站所能观测范围的半径。iibctan,其中i表示第i个测控站在所在平面观测范围的地心角。iin22,,,3,2ni