关于向量教学诸多问题的思辨

1关于向量教学诸多问题的思辨连春兴（北京丰台益辰欣园1-6-1001）摘要：针对向量的教学中，向量的知识结构、基本定理的地位、向量整体运算与坐标运算的关系、向量与解析几何的异同、向量与高考，等一系列问题，进行了系统地思考与辨析。关键词：平行与共线基本定理向量与高考解题利器在长期的教师培训实践中，笔者发现一些一线教师在向量教学中困惑很多。究其原因，一方面，向量是新教材的新增内容；另一方面，在向量几何这个全新运算系统中，作为运算基本元的向量，既有“数”的抽象，还兼具“形”的直观，这种有别于实数的运算特色，大家不太适应。为深入交流，笔者针对向量教学暴露出来的种种问题，做了一番谨慎地辨析。因学识所限，谬误难免，希望得到专家、同行的指正。问题1“相等向量”的概念造成“平行与共线”不区分，这与平面几何的差异，对我们造成困扰，但为什么还这样规定？如此定义“相等向量”有什么好处？这是从欧式几何转向向量几何后迎面而来的第一个困惑。表面看来，“相等向量”的概念造成“平行与共线”不作区分，会对初学者会有一定困扰，但我们这样定义，对于向量几何系统的构建和确保向量工具的方便好用，具有奠基性意义，是不可或缺的。2首先从运算的需求角度看，在代数系统中，我们通常选“实数、单项式…”等作为运算的基本元，并在运算中离不开合并与简约；而在向量几何中，以可视空间（中学生的局限）中横七竖八的向量作为运算的基本元，其繁复程度是不可想象的，我们迫切需要实现运算基本元的简约，于是，首先定义了向量变换的“两个不变性”：其一，平移不变自身（即“相等向量”的概念），其二，数乘不变共线。有了这两个“不变性”，我们对空间中甲、乙两个任意的平行（共线）向量，都可以理解为其一是其二涨缩（或反向）的结果，即“a//b,则存在实数λ，使a=λb，其中b≠0，”这样，我们就实现了把三维空间中任意一族平行向量都可用一个“非零代表”（基底）线性表示，从而实现了运算基本元的最大简约。其次，从知识内部的和谐角度看，认识向量加法的三角形法则与平行四边形法则的统一，离不开相等向量的概念；利用平行四边形法则极易完成向量加法交换律“c=a+=b+a”的证明，其本质也离不开相等向量的概念；通过向量“a+(-b)”的几何意义解释向量减法运算几何意义是“连接两向量终点，方向指向被减向量的向量”，同样需要“相等向量”的概念；更有甚者，若离开“相等向量”的概念，无法达成对两向量差的坐标表示与几何意义的一致性理解。问题2为什么把选“基底”线性表示其它向量的定理冠之为“基本定理”？在我们数学中，能冠之“基本定理”的定理通常有奠基的意义，如代数基本定理“每个次数1的复系数多项式在复数域中有一根3[1]，”该定理对多项式分解、方程求根的作用不言而喻。而向量“基本定理”也从如下两个方面反映出它在知识体系中的奠基作用。（1）基本定理的核心是“基底”思想，即用至少的量表示更多的量，它使运算基本元实现了最大简约，它是前辈数学家智慧的体现。如前所述，选一维基向量线性表示共线向量（直线基本定理）；选两个不共线向量作为二维基向量表示共面向量（平面基本定理）；选三个不共面向量作为三维基向量表示空间向量（空间基本定理）。三个不同维度的“基本定理”，一脉相承，实现了向量运算基本元的最大简约，这种核心思想方法，贯穿于向量工具解决几何问题的始终。（2）有了一、二、三维空间中基本定理奠基，不论解决什么几何问题，只要在图形中选定合格的“基底”，其它任意相关线段构成的向量都可由基向量线性表示，从而实现了运用向量解决几何问题的完备性。基于上述理由，该定理冠之于“基本定理”，是当之无愧的。问题3向量“基本定理”在知识体系中虽然重要，但我们的教学要求却是“了解”层次，在教学中往往一带而过，这样处理是否妥当？要不要关注“基本定理”的证明？在与教材配套的教师用书中，我们对向量“基本定理”的教学要求的确是“了解”层次，这主要是鉴于该定理不像其它几何定理那样，在逻辑推理中有更多的直接运用，但这并不意味着选“基底”，简约运算基本元的思想方法可以弱化。所以，要求学生理解向量“基本定理”的来龙去脉和证明过程是适当的。4笔者曾在北京航天中学组织过一次“平面向量基本定理”的研究课，生源基础虽然不好，却收到很好的教学效果。课堂采用下列问题导学[2]：（1）甲存钱a元，乙存钱数是甲的3倍，丙是1.5倍，丁欠别人钱数是甲的2倍，如何用甲的钱数表示乙、丙、丁的钱数？（2）平面上有一个非零向量1e,平面上哪些向量可以由1e表示？（3）平面上哪些向量不可以由1e表示？（4）能否增加一个非零向量2e,实现平面上任意向量都可以由向量1e，2e表示？显然问题（1）为问题（2）提供了一个类比环境；问题（3）旨在引导学生发现与1e不共线的向量不能被1e表示；问题（4）提出后，教师随机在黑板画出方向不同（两两不共线）、长短不一，同时也不共起点的三个向量12,,eea，指出凭借“平移不变自身”，总可实现三向量共起点，然后要求学生，能否以12,ee所在直线为邻边，构造以向量a为对角线的平行四边形，并估计向量12,ee的涨缩（包括反向涨缩）系数λ1，λ2的值，写出向量a的表达式。为节约时间，教师提前准备如下四个图形，请四位同学上黑板完成。e1e2aae2e15实践表明，在这样一个基础很一般的班级，凭借“数乘不变共线”，大多数同学可以完成以向量a为对角线，构造平行四边形的任务，估算涨缩系数（包括反向取负），也能做到八九不离十，当然，概括平面基本定理也变得唾手可得。学生经历这样的过程，可以深化对基本定理的理解。章建跃先生曾说过这样类似的话：基本定理中的数乘系数作为坐标λ1，（λ1，λ2），（λ1，λ2，λ3），分别具有刻画直线、平面、空间的功能，这就体现着基本定理的深化，有时还成为高考命题的素材。例1（2014年北京高考文14）已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面区域D由所有满足APABAC（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为__________.依题意画出A，B，C三点（如图），点P在题设APABAC（1≤λ≤2，0≤μ≤1）限定下，形成平行四边形区域（见阴影），该平行四边形区域恰好是ABC面积的二倍。此题体现出平面向量基本定理刻画平面的功能，体现出回归基本概念、关注数学素养的高考命题理念。问题4学生学习了向量的坐标表示后，往往放弃向量的整体运ae1e2e1e2a6算形式，只重视记忆向量坐标运算公式，进行表面化操作，而对向量坐标的由来，算律的运用，一概抛之脑后，这种切断联系的学习方式如何纠正？反思我们的教学过程，造成学生对向量坐标运算和整体运算厚此薄彼的局面，有两方面的原因:其一，是教学中对向量知识的逻辑化把握没有足够的重视。事实上，不论是向量的“整体运算”，还是“坐标运算”，二者一脉相承，都是根据向量的基本定理，把相关向量用基向量线性表示，如果对作为运算基本元的基向量没有模长与方向的特殊要求，这种运算就是向量的整体运算；如果基向量取模长为1，且要求两两垂直，如此分离出基向量系数，隐去基本元,ij，即可得任意向量的直角坐标表示，进而得向量的坐标运算。所以，向量的坐标运算实则是基向量规范化（上述两点要求）的产物，好处在于把向量运算与熟悉的直角坐标系联系起来，从而降低了向量运算的陌生感。而向量的整体运算显然相对于坐标运算更上位，因为对基向量不作上述规范化要求，析出基向量系数虽可视为所表示向量的仿射坐标，但远没有直角坐标好用。其二，缘自当前高考题对向量工具的运用。在当前必用向量解决的高考立体几何题中，一般只需建立空间直角坐标系，把相关向量坐标表示后即可运算搞定。受如此功利化的影响，弱化向量的整体运算能力要求不足为怪。问题根源找到，就不难确定克服的策略。首先，教师可以帮学生提炼出一个逻辑链条，即从向量“平移不变自身、数乘不变共线”两7个特性出发，推出“基本定理”，再从“基向量”规范化（两点要求）出发，推出向量的坐标表示，进一步得到坐标运算法则，以实现逻辑化、结构化地把握概念。其次，我们不妨超越功利，适时补充一些建立坐标系不方便，无需“基向量”规范化，而进行向量的整体运算非常便捷的题目，让学生充分体会向量工具的方便好用，以全面提升数学素养。例2.如图，在四面体A-BCD中，已知AB⊥CD,AC⊥BD,求证：AD⊥BC.此题反映出一个四面体中，若两对棱垂直，则第三对棱也垂直。如果不用向量工具，往往需要构造平面，这就可能难住部分同学，但用向量工具，建立直角坐标系也不甚方便。于是，运用选“基底”，进行整体运算的方法，即可得如下简捷的证明：取向量a,b,c构成基底，则由AB⊥CD得a(c-b)=0,即ac=ab.同理，ab=bc.所以，ab=ac=bc,所以，c(b-a)=bc-ac=0.所以AD⊥BC。问题5有学生发问：解析几何研究问题离不开坐标表示，向量中也有坐标表示，解析几何与向量几何是不是一回事，如何认识它们之间的区别与联系？从解决问题的方式看，有同有异。首先，向量几何与解析几何都离不开“运算”，所以，都是基于“代数方法解决几何问题的产物”。8类比解析几何中坐标法的三部曲，我们还可以概括出向量法的“三部曲”：（1）凭借基本定理，把几何线段转化为向量。（2）凭借算率、法则，进行向量运算，研究模长、夹角等问题。（3）把运算结果“翻译”成几何结论。其次，它们之间的区别在于，解析几何依赖于直角坐标系而存在，而向量几何虽然也可在直角坐标系基础上进行坐标运算，但它并不依赖于直角坐标系，因为不选用规范化的“基底”，照样可以基向量作为“基本元”进行运算。从解决问题的手段看，也是各有特色。解析几何以通过二元方程，刻画动点横纵坐标的制约、依存关系，揭示动点轨迹形状、性质见长。而向量几何由于运算基本元是向量，而不是数，所以它解决问题有许多别致的方法[3]。如果我们研究“垂直”问题，解析几何中离不开“斜率之积为-1”的判断，而斜率不存在的情况要区别对待。而运用向量方法就简化的得多，只需考查两方向向量数量积为零就等价于“垂直”。如果我们研究“距离”问题，在解析几何中的距离公式一般来源于勾股定理。而运用向量工具，依向量数量积定义，向量自身相乘即得“模的平方”，成功解决了模长（两点间距离）的计算问题，展示了向量几何中求距离的独门绝技，我们可以证明与勾股定理求距离的内在一致性。如果我们研究“平行”或“三点共线”的相关问题，在解析几何9中，我们必然要考虑“斜率”，或考虑点在线上。而利用向量的方法，只需根据“数乘不变共线”，考查方向向量间是否存在数乘关系，如此简化，堪称“无术之大巧”。例3如图，A、D、B共线，AB=3AD，BC=3DE，且DE∥BC。求证：A、E、C共线。本题看似简单，但如果用平面几何的知识证明，可能涉及“同一法”的运用，这对学生来说，是陌生的。如果用解析几何的方法解决，恐遭遇“牛刀宰蚊子，不知哪下手”的尴尬。而运用向量知识，极易得3()3ACABBCADDEAE，所以，//ACAE,即A、E、C共线。向量几何与解析几何相得益彰，它不仅为我们提供了别致的计算方法，还使得解析几何的教材编写更加简约。例如，在没有增补向量内容的时候，解析几何教科书一般都要有中点公式、定比分点公式，甚至要有两直线的夹角公式，现在完全不必保留这些内容，因为利用“数乘不变共线”，把“ab”坐标表示，完全可得中点、定比分点公式。再利用向量的坐标形式完成数量积，与定义式两种运算结果构建方程，解决了两向量成角的计算，替代了解析几何中的夹角公式。问题6当前全国高考对向量要求不高，如果功利的看，这样的高考导向，有可能造成向量教学的“蜻蜓点水”，我们怎么办？不容讳言，全国高考对向量知识的考查的确要求不高，这可能是命题者基于全国教学现状的考虑。比如如下两题：例4（2015课标1理5）已知M（x0，y0）是双曲线C：2212xyERDCBA10上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若12MFMF＜0，则0y的取值范围是（A）（-33，33）（B）（-36，36）（C）（223，223）（D