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小波分析理论与方法一傅里叶分析：法国数学家傅里叶于1822年提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶分析的理论基础。通常傅里叶分析是指积分傅里叶变换和傅里叶级数，传统信号分析以经典傅里叶变换为基础。傅里叶分析通过将信号正交分解到一族三角函数或复指数函数上,揭示信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系,从而可导出信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。1.1连续傅里叶变换对于函数f(t)∈L1(R),其连续傅里叶变换为：其中,i是虚数单位，ω是频率变量。F(ω)的连续傅里叶逆变换为傅里叶变换存在的条件是f(x)在R上绝对可积，傅里叶变换把信号完全转换到频域进行分析，不但为了某一点频率的频谱需要计算过去和未来所有时间的信号，而且丢失了时域的所有信息。平稳信号与非平稳信号1，通俗讲：因为二者都是随机信号，所以要采用统计的方法对他们进行最初的处理。通过对统计特征的对比，非平稳随机信号的统计特性（均值、方差等）随着时间变化而变化，而平稳随机信号的统计特性不随时间变化。2，略带理论讲：平稳信号是指分布参数或者分布律随时间不发生变化的信号，也就是统计特性不随时间变化而变化。假设信号表示为X(n),则当其满足：1.E[X(n)]=μ2.E[|X(n)|2]∞3.r(n1,n2)=E[x(n)x(n+m)]=r(m)则称信号x(n)为宽平稳（或者广义平稳）信号。注意：上述三个公式分别表示：1）平稳信号的均值和时间无关，为常数；2）自相关函数（方差）和时间的起点无关，只和两点的时间差有关。3）互协方差函数也和时间的起点无关。4）一阶矩为常数，二阶矩与信号时间的起始点无关，只和起始时间差有关。3，非平稳信号：不属于平稳信号范畴的就是了一个平稳信号有如下形式另一个信号：在0到300ms之间为100Hz的正弦信号，在300到600ms之间为50Hz的信号，在600到800ms之间为25Hz的信号，在800到1000ms之间为10Hz的信号，其原始信号和傅立叶变换如下图比较两幅图可以看出，两个信号的功率频谱图基本相同第三个信号是由半年周期信号，月周期信号，以及365-730的年周期信号组成。原信号图如下，)*100*2cos()*50*2cos()*25*2cos()*10*2cos()(tttttx其功率谱如下：对图进行分析，傅里叶分析能够识别出信号中存在月周期和半年周期的信号，但是月周期和半年周期信号的幅值和初始相位等时域信息无从得知。傅里叶谱是对整个时间轴的积分，为了获取信号某一特定频率分量信息，必须知道信号在整个事件过程中的变化信息，因此傅里叶变换代表信号的整体频谱信息，不具备时频分析局部化能力，这是傅里叶分析对非平稳信号分析的局限性。为了提取信号的局部特征,例如变形信号在某一时刻的频率、形变突发位置等1946年Gabor提出了短时傅里叶变换，即Gabor变换，也称加窗傅里叶变换。Gabor变换的基本思想为：取时间函数作为窗口函数，用同待分析函数相乘，是时间延迟，然后再进行傅里叶变换，即，其中为窗口函数g(t)的窗口傅里叶变换或Gabor变换。窗口函数g(t)起着时限作用，e−iωt起着频限作用。该变化具有不变化宽度2∆𝑔（由时间宽度决定）和不变的窗口面积4∆𝑔∆𝑔̂，这样信号在窗函数上的展开就可以表示为、这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，δ],[],[和ε分别称为窗口的时宽和频宽，表示时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高，局部时频分析效果越好。下图是短时傅里叶变换的图解过程，在变换过程中，把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。下面是短时傅里叶变换的例子：非平稳信号：傅里叶频谱图：短时傅里叶：由上图可发现，傅里叶转换只提供了有哪些频率成份的信息，却没有提供时间信息；而短时傅里叶转换则清楚的提供这两种信息。这种时频分析的方法有利于频率会随着时间改变的信号，如音乐信号和语音信号等分析。短时傅里叶变换是在傅里叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本信息假定在于在一定的时间内窗口信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说粒度太大。换言之。短时傅里叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，时频局部化并不彻底，存在很大的缺陷。二小波变换小波变换法由法国科学家MORLET于1980年在进行地震数据分析时提出，可解决时频局部化问题小波分析是近20年来迅猛发展起来的一门新兴的交叉性学科，已广泛应用于数值分析、信号处理、图像处理、量子理论、地震勘探、语音识别、计算机视觉、CT成像、机械故障等领域，小波理论被认为是对傅里叶分析的重大突破。1.连续型小波变换小波变换是一个平方可积分函数（此处解释什么是平方可积函数）f(t)与一个在时频域上均具有良好局部性质的小波函数ψ(t)的内积：𝑊𝑓(a,b)=𝑓,𝜓𝑎,𝑏=1√𝑎∫𝑓(𝑡)𝜓∗−(𝑡−𝑏𝑎)𝑑𝑡式中，*,*表示内积（解释什么是内积），a0,为尺度因子，b为位移因子，*表示复数共轭，ψa,b(t)称为小波𝜓𝑎,𝑏(𝑡)=1√𝑎𝜓(𝑡−𝑏𝑎)ψ(t)称为母小波，ψ(t)必须满足容许性条件：∫𝜓(𝑡)𝑑𝑡=0或∫|Ψ(ω)|2|𝜔|−+−𝑑𝜔=𝐶𝜙其中Ψ(ω)是ψ(t)的傅里叶变换。连续小波变换尺度因子a决定了时域和频域观测窗大小，位移因子b决定了观测窗的位置。尺度因子a越大，时窗越宽，频窗越窄，且频窗中心向低频方向移动；a越小，则时窗越窄，频窗越宽，且频窗中心向高频方向移动。小波函数的时间频率窗小波函数ψa,b(t)的作用于短时傅里叶变换中的函数g(t-τ)e-iωt相似，前者的位移因子b与后者的参数τ都起着平移作用。但在本质上不同的是，短时傅里叶中的参数ω的变化不改变窗口g(t)的大小和形状，在时频平面上各处的分辨率均相同，而小波变换中的尺度因子a的变换不仅改变小波的频谱结构，而且改变其窗口的大小和形状，尺度因子a大时，对应于低频端，频率分辨率高。时间分辨率低；反之，尺度因子a小时对应于高频端，频率分辨率低，时间分辨率高，这种特性被称为数学显微镜。小波函数中的尺度因子和平移因子决定了小波变换可以获得函数或信号点处的精细结构，也决定了小波变换对非平稳信号具有时频局部化分析能力。下图为部分小波母函数图像。结合容许性条件和上图可以得出，ψ(t)的时域波形具有衰减性和波动性，其在原点附近波动明显，则其远离原点将迅速衰减为零，整个波动趋于平静，即其振幅具有正负相间的震荡。小波分类的标准支撑长度：即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一个有限值收敛到0，长度越小，对奇异点的区分效果越好。对称性：对称性越好，越能保证信号不失真（不产生畸变），越能提高信号的重构精度。正则性：它在对信号或图像的重构获得较好的平滑效果作用上是非常有用的。小波基数的选择尚没有固定的选择标准，一般根据信号特征和实实际应用效果而定，目前主要是通过比较不同小波基的分析结果与理论分析结果的偏差大小来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。下图为一维连续小波变换示意图下图是x(t)的小波时频图2离散小波变换在实际应用中，需要对尺度因子a和位移因子b进行离散化处理，可以取：a=𝑎0𝑚,b=nb0𝑎0𝑚,其中，m,n为整数，a0为大于1的常数，b0为大于0的常数，a和b的选取与小波ψ(t)的具体形式有关。离散小波函数表示为：𝜓𝑚,𝑛(𝑡)=1√𝑎0𝑚𝜓(𝑡−𝑛𝑏0𝑎0𝑚𝑎0𝑚)=1√𝑎0𝑚𝜓(𝑎0−𝑚𝑡−𝑛𝑏0)相应的离散小波按可以表示为：𝑊𝑓(𝑚,𝑛)=𝑓,𝜓𝑚,𝑛=∫𝑓(𝑡)·𝜓𝑚,𝑛∗(𝑡)𝑑𝑡−当a0=2，b0=1时，离散小波变换称为二进离散小波变换，这样便于分析，并且适合于在计算机上进行高效的运算。2.1一阶滤波：近似与细节对于大多数信号来说，低频部分往往是最重要的，往往给出了信号的特征。而高频部分则与噪声以及扰动联系在一起。将信号的高频部分去掉，信号的基本特征仍然可以保留。正因为这个原因，我们在后面信号的分析中，经常会提到对信号的近似于细节。近似主要是系统大的、低频部分，而细节往往是信号局部、高频成分。下面根据一阶离散小波变换系数重建的信号：2.2多尺度分解：对信号的高频分量不再分解，而将信号的低频部分继续分解.实际中，分解的级数取决于要分析的信号数据特征及用户的具体需要，例如长度为N的信号，最多能分成log2N层。在实际中，可以选择合适的分解层数。下图为三层多尺度分解树结构，原始信号S的多尺度分解为：S=cA3+Cd3+cD2+Cd12.3小波包分析：小波包不仅对低频部分进行分解，而且对高频部分也做了二次分解。小波包的主要优点是小波包可以对信号的高频部分做更加细致的刻画，对信号的分析能力更强，当然其代价是信号分析的计算量将显著上升。三非线性大地测量信号小波包估计在大地测量系统中,由于受观测条件、观测仪器等诸多因素的影响,所获取的观测时间序列数据中包含了信号和误差(噪声)两部分,对数据进行预处理,有效地消除误差,并估计特征值,分析其规律是大地测量数据分析研究的主要内容之一。利用小波估计信号时,由于仅对低频部分进行分解,高频部分被舍弃。而大地测量信号大多是非线性的,其内涵的信息比较复杂性,许多有用信息可能隐藏于高频部分,若按经典二进小波分解与重构,会造成高频部分中的有用信号丢失,从而降低信号估计的精度。而小波包则对低频和高频部分同时进行分解与重构,可以充分利用信号内涵的信息。3.1小波去噪3.1.1随机噪声小波包变换特征加噪信号数学模型为f(t)=s(t)+n(t)，s(t)是原信号，n(t)是随机白噪声，满足E[n(t)]=0和D[n(t)]=σ2。设Ψ(t)为小波函数，n(t)的小波包变换为Wn(j,t)=n(t)·Ψj(t)=∫𝑛(𝑡)Ψ𝑗(𝑡−𝑢)𝑑𝑢𝑅n(t)的小波包系数的期望和方差分别为E(|Wn(j,t)|2)=0D(|Wn(j,t)|2)=𝜎||Ψ(𝑡)||2𝑗由上式可以看出，经小波包变换后，白噪声的小波包系数的均值仍为零，但方差为𝜎||𝛹(𝑡)||2𝑗，且其随着尺度j的增加，系数幅值逐渐减小。3.1.2信号小波包去噪的原理和步骤原信号和随机噪声在小波包变换中具有不同的表现性态,即它们的小波包系数幅值随尺度变化的趋势不同,尺度j增加,噪声系数的幅值快速衰减,而原信号的系数幅值基本保持不变。根据这一特征,可将信号先进行小波包分解,再设计一门限,将低于该门限的小波包系数置为零,然后将处理后的小波包系数重构回原始信号,从而使信号中的随机噪声得到有效抑制，达到信号小波包估计的目的。步骤如下：(l)选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号进行小波包分解;(2)对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树;(3)估计阀值,并应用该阀值对最优树的小波包系数进行阀值量化;(4)将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。小波包阀值消噪有两个关键点：1、如何估计阀值；2如何利用阀值量化小波包系数。选择小波基的标准有：正交性，消失矩，正则行，紧支性和对称性。常用的小波函数主要有：haar小波，daubechies小波,symlets小波,meyer小波,morlet小波,和墨西哥草帽小波。这些经典的小波在对称性，紧支性，消失矩，正则行等方面均具有不同的特点。小波基的选择，尚没有固定的选择标准，一般根据信号特征和实际应用效果而定。目前主要是通过比较不同的小波基的分析结果与理论分析结果的偏差的大小来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。最佳分解层次J的确定分解层次越大，被滤掉的噪声越多，同时信号的失真也越大，所以必须选择一个最佳的分解层次J，在保证信号不失真的前提下