曲面的第一基本形式

1§2.2曲面的第一基本形式微分几何第15讲2主要内容1.曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长2.曲面上两方向的夹角2222()cos22EduuFduvdvuGdvvEduFdudvGdvEuFuvGv222rsEduFdudvGdv22Ⅰ=dd思考：两曲面间的曲线保长、保角的依据？10()()dttstrtt10222ttEduFdudvGdv1022()2()ttdududvdvEFGdtdtdtdtdt=曲面上是否还有与曲面形状无关的几何量？微分几何第15讲3预备知识()()tastrtdt()dsrtdt结论22=dsdr222()()dsrtdt2=ds2dr微分平方()tastds光滑曲线由a到t的弧长公式()rrt微分几何第15讲4§2.2曲面的第一基本形式1.曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长或uvdrrdurdv，若以s表示曲面上曲线的弧长，则sr２2d=d2)uvrdurdv=(22urdu对于曲线(C)有()udurtrdt2uvrrdudv22vrdv曲面S:(,)rruv上的曲线(C):((),())rrutvtvdvrdt微分几何第15讲5曲面的第一基本形式,uvFrr2,vGr2,uEr令22222.rsEduFdudvGdvdd第一基本形式曲面上曲线的弧长由这个二次形式决定.第一基本量Ⅰ=2222222uuvvsrrdurrdudvrdvd=dⅠ=微分几何第15讲6曲面上曲线的弧长10ttsds10ttdsdtdt=1022()2()ttdududvdvEFGdtdtdtdtdt=10ttds（已知u,v直接关系式时使用此式）10()()dttstrtt10222ttEduFdudvGdv曲线(C)上两点0101()()()AtBttt、之间的弧长：（已知曲线的参数方程u=u(t),v=v(t),时使用此式）微分几何第15讲7直角方程时曲面的第一基本形式,xyFrrpq{,,(,)},rxyzxy{1,0,}xzrx21,xxErrp21,yyGrrq(,)zzxy，若曲面方程为则可化为参数方程{1,0,},p{0,1,}yzry{0,1,},q2222()2(1).pxpqxyqy1+dddd第一基本形式微分几何第15讲8例题1求平面与圆柱面的第一基本形式.解对于平面，可令方程:,,0rxy{1,0,0},xr{0,1,0},yr21.xy2dd对于圆柱面=cos,sin,rauauv=-sin,cos,0,urauau2222.adudv21,xEr0,xyFrr21,yGr两者有相同的第一基本形式.=0,0,1vr作变换=,xauyv=发散：微分几何第15讲9例题2在第一基本形式为222=sinhduudvⅠ的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长.2222sinhdsduudv，解依题意，得沿曲线u=v有du=dv,则2ds222sinhdvvdv22cosh,vdv在曲线u=v上，由12vv到的弧长为21coshvvvdv21|sinhsinh|.=vvsinh,2tteet221(sinh)(cosh)tt提示：cosh2tteet(sinh)cosh,tt(cosh)sinhtt微分几何第15讲102.曲面上两方向的夹角也称此夹角为两曲uvrrurv与间的夹角称为(:)dudv与(:)uv线的夹角.给出曲面上两个方向()(:)ddudv()(:)uv和把向量uvdrrdurdv间的夹角.方向微分几何第15讲11两方向的夹角公式设dr与r的夹角为，2222,drEduFdudvGdv2222rEuFuvGvcosuvuvdrrrdurdvrurv()()Eduu=()FduvdvuGdvv则cosdrrdrr，()EduuFduvdvuGdvv222EduFdudvGdv222EuFuvGv微分几何第15讲12推论推论1两方向dr与r垂直的充分必要条件是()0EduuFduvdvuGdvv推论2设坐标曲线的切向量ur与vr的夹角为则cosFEG推论3曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是F=0.2222()cos22EduuFduvdvuGdvvEduFdudvGdvEuFuvGvuvuvrrrr0u-dv曲线：，0.v-u曲线：微分几何第15讲13例题3{()sin,()cos,0}rtt-，{()cos,()sin,()}trttttFrr所以坐标网是正交网.的坐标网是正交网.证明旋转曲面{()cos,()sin,()}rttt证明圆柱面、球面、正螺面的坐标网也正交.发散：0.微分几何第15讲14例题4E(0,0)=1，F(0,0)=0，2(0,0).Gadudv，22.Gua81(4)P曲面的第一基本形式：2222().duuadv.uv由得2222()duuadv1,0,EF求它上面两条曲线的交角.=0-=0uvuv，解由得=0-=0uvuv，曲线的交点是(0,0),00uv=u-v=，微分几何第15讲15例题4,dudvuv又2222()cos22EduuFduvdvuGdvvEduFdudvGdvEuFuvGv221cos,1aa221arccos.1aa∵E(0,0)=1，F(0,0)=0，2(0,0).Ga2222cos222duuadvvduadvuav221,1aa微分几何第15讲16作业：81P3，5，6谢谢！