公开课高三理科数学第一轮数列求和复习

1数列求和课例的教学设计一教学目标:研究近几年的高考试卷,发现数列与不等式,三角函数,向量等知识的综合应用往往出现在高考中的最后两题,成为学生的丢分题,从而加强数列综合应用的教学显得尤为重要.根据学生的认知水平和数列求和在新课程理念的要求,确定教学目标如下：◆知识目标：①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。◆能力目标：培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。◆情感目标：培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界.二教材重、难点数列求和是一个很重要的内容,前面已学习了等差与等比数列求前n项和的公式,但是不少题目是不能直接套用公式的,有些需要用一些特殊的方法,如课本上介绍的“高斯求和法”（“倒序相加法”）、“错位相减法”等．常用的数列求和法主要有下面几种：1．直接用等差与等比求前n项和的公式法；2．折项或并项求和法；3．奇偶求和法；4．裂项求和法；5．错位相减法；6.猜想归纳法．本节课是高三第一轮复习中数列求和的第一节,从而分析变换通项以及用局部和整体的思想来选择恰当的方法对非特殊的数列求和是本节课的重点与难点.三教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围.四学情分析本人执教的学校是省重点中学,所教的班级是高三年级的实验班,学生具有较好的数学功底,具备一定的独立思考、合作探究能力,因此本节课采用学生主讲、教师点评的授课方式,既能充分发挥学生主观能动性,又能充分暴露学生认知过程中的错误,更重要的是能达到预期的教学目的,获取理想的教学效果.五学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法：（1）自主性学习法,（2）探究性学习法,（3）巩固反馈法,六时间安排◆复习引入（约10分钟）◆例题讲解（约10分钟）◆学生评析（约18分钟）◆学生小结（约2分钟）七板书设计：数列求和（一）例题解答板书学生演练1．公式法…例1:例1:2等常见重要公式…例2:2．拆并项求和法,（一）主要知识：1．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝．2．等比数列的前n项和公式：①当q＝1时，Sn＝②当q≠1时，Sn＝＝．③)1(211nnkSnkn④)12)(1(6112nnnkSnkn⑤213)]1(21[nnkSnkn（二）主要方法：若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?（秒杀，提信心）请说明方法：①nan3②nna3③123nann④)1(nnan⑤)1(1nnan⑥nnna3（三）典题热身：（牛刀小试，自找差距）1、12531n______n2421_____2、求naaaa32_________________________________3、数列,1614,813,412,211前n项的和为___________24、数列{an}中，an=1+2+…+2n－1(n∈N*)，则该数列前n项和为5、已知数列11nn的前n项之和为10，则项数n=解：.an＝11nn＝nn1，∴Sn＝11n，由11n＝10，∴1n＝11，∴n＝1206、求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值=解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S……….①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S…..②（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.5（四）例题分析：例1.求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432……….②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn方法小结：变式1.求数列23,2,3,,,naaana的前n项和nS解：2323nnSaaana，当1a时，123nS…(1)2nnn，当1a时，2323nSaaa…nna，23423naSaaa…1nna，两式相减得23(1)naSaaa…11(1)1nnnnaaananaa，∴212(1)(1)nnnnanaaSa．例2.已知数列：1，211，41211，8141211，…，12141211n，求它的前n项的和Sn．解：∵an＝1＋21＋41＋……＋121n＝nn2112211211∴an＝2－121n则原数列可以表示为：(2－1)，212，2212，3212，…1212n前n项和Sn＝(2－1)＋212＋2212＋…＋1212n＝2n－122121211n＝2n－211211n＝2n－2n211＝121n＋2n－2变式2..求Sn＝1＋211＋3211＋…＋n...3211．解：∵an＝n3211＝)1(2nn3＝2(n1－11n)∴Sn＝2(1－21＋21－31＋…＋n1－11n)＝12nn挑战高考显实力：（2013江苏高考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝)()21(*2Nnan，bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn．解：取n＝1，则a1＝21)21(aa1＝1又Sn＝2)(1naan可得：2)(1naan＝2)21(na∵an≠－1(n∈N*)∴an＝2n－1∴Tn＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n－1)·2n①2Tn＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n－1)·2n＋1②①－②得：∴－Tn＝2＋23＋24＋25＋……＋2n＋1－(2n－1)·2n＋1＝2＋21)21(213n－(2n－1)·2n＋1＝－6＋(1－n)·2n＋2∴Tn＝6＋(n－1)·2n＋2（五）归纳小结1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．2．求和过程中注意分类讨论思想的运用和转化思想的运用。（六）巩固练习：求和__________)432()434()432(21nn1、数列,1614,813,412,211前n项的和为答案:解析：2111(1)11234122222nnnnnSn2、在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.∵211211nnnnnan∴)111(82122nnnnbn∴数列{bn}的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn＝)111(8n＝18nn（七）．课后作业：◆必做题：1、求11111111111个n之和.解：由于)110(91999991111111kkk个个（找通项及特征）∴11111111111个n＝)110(91)110(91)110(91)110(91321n（分组求和）＝)1111(91)10101010(911321个nn＝9110)110(1091nn＝)91010(8111nn2、求数列,11,,321,211nn的前n项和.解：设nnnnan1114则11321211nnSn＝)1()23()12(nn＝11n3、求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232…………①14322226242221nnnS………………②①－②得1432222222222222)211(nnnnS1122212nnn∴1224nnnS◆选做题：4、已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n215、设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(21nnSn（∴1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501∴当88n，即n＝8时，501)(maxnf6、已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS．解：奇数项组成以11a为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以24a为首项，公比为4的等比数列；当n为奇数时，奇数项有12n项，偶数项有12n项，∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423nnnnnnnS，当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，∴2(165)4(14)(32)4(21)221423nnnnnnnS，所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23nnnnnnSnnn为奇数为偶数变式训练3.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.⑴求数列{an}和{bn}通项公式．⑵设Cn＝nnba，求数列{Cn}前n项和Tn．5解：（1）当n＝1时a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－2，故{an}通项公式为an＝4n－2，即{an}是a1＝2，d＝4的等差数列，设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴q＝41，故bn＝b1qn－1＝142n（2）∵Cn＝nnba＝14)12(14224nnnn◆思考题：求和:)!1(!43!32!21nn