公式在因式分解中的应用

公式在因式分解中的应用将五个乘法公式的左右两边反过来，就得到因式分解的五个公式：a2-b2=(a+b)(a-b)(Ⅰ)a2±2ab+b2=(a±b)2(Ⅱ)其中a、b可以是一个数，一个含字母的单项式，也可以是一个多项式．这些公式在因式分解中占有极为重要的地位．它们在因式分解中的应用反映在以下几个方面：1．直接运用公式例1把下列各式分解因式：（1）a6-b6；（2）8an+an-3；（3）24x4n+3-54x2n+3；（4）(ab+1)2-(a+b)2；（5）(a2+b2-c2)2-4a2b2；（6）-16x4+24x2y-9y2；（8）(x+3)2+2(x2-9)+(x-3)2．解（1）原式=(a3+b3)(a3-b3)=(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)(想一想：此题能不能先利用立方差公式进行分解？如何分解？)（2）原式=an-3(8a3+1)=an-3(2a+1)(4a2-2a+1)（3）原式=6x2n+3(4x2n-9)=6x2n+3(2xn+3)(2xn-3)（4）原式=(ab+1+a+b)(ab+1-a-b)=(a+1)(b+1)(a-1)(b-1)（5）原式=(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)（6）原式=-(16x4-24x2y+9y2)=-(4x2-3y)2（8）原式=(x+3)2+2(x+3)(x-3)+(x-3)2=(x+3+x-3)2=4x22．分组分解例2把下列各式分解因式：（1）x2+10xy-70y-49；（2）8x3+12x2-6x-1；（3）4a2-9b2-4a+1；（5）9x2+4y2-1-25z2+12xy+10z；（6）x3+x2+xy-6y2-8y3；（7）7x-x2-21y+6xy-9y2；（8）x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2．解（1）原式=(x2-49)+(10xy-70y)=(x+7)(x-7)+10y(x-7)=(x-7)(x+10y+7)（2）原式=(8x3-1)+(12x2-6x)=(2x-1)(4x2+2x+1)+6x(2x-1)=(2x-1)(4x2+8x+1)（3）原式=(4a2-4a+1)-9b2=(2a-1)2-9b2=(2a-1+3b)(2a-1-3b)（5）原式=(9x2+12xy+4y2)-(25z2-10z+1)=(3x+2y)2-(5z-1)2=(3x+2y+5z-1)(3x+2y-5z+1)（6）原式=(x3-8y3)+(x2+xy-6y2)=(x-2y)(x2+2xy+4y2)+(x+3y)(x-2y)=(x-2y)(x2+2xy+4y2+x+3y)(7)原式=(7x-21y)-(x2-6xy+9y2)=7(x-3y)-(x-3y)2=(x-3y)(7-x+3y)（8）原式=(x2+2xy+y2)+2z(x+y)+z2=(x+y+z)23．拆项、添项例1把下列各式分解因式：（1）4x4+1；（2）x4-6x2+25；（3）a4-2a2b-3b2+8b-4；（4）x4+x2+2ax+1-a2．解（1）原式=(4x4+4x2+1)-4x2=(2x2+1)2-(2x)2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)（2）原式=(x4+10x2+25)-16x2=(x2+5)2-(4x)2=(x2+4x+5)(x2-4x+5)（3）原式=(a4-2a2b+b2)-(4b2-8b+4)=(a2-b)2-(2b-2)2=(a2-b+2b-2)(a2-b-2b+2)=(a2+b-2)(a2-3b+2)（4）原式=(x4+2x2+1)-(x2-2ax+a2)=(x2+1)2-(x-a)2=(x2+1+x-a)(x2+1-x+a)练习把下列各式分解因式：1．27m4+8m；2．(x2+y2)2-4x2y2；3．4(a-b)2-12(b-a)c+9c2；4．x2(x2-9)+4(9-x2)；5．a4-x2+4ax-4a2；6．x3-3x2y-3xy2+y3；7．x5y-x3y-2x2y-xy；8．x3+px2+px+p-1；9．81a4+4b4；10．x4+x2+25；11．x2-6xy+9y2+8x-24y+16；12．a2-b2+4a+2b+3．答案1．m(3m+2)(9m2-6m+4)；2．(x+y)2(x-y)2；3．(2a-2b-3c)2；4．(x+3)(x-3)(x+2)(x-2)；5．(a2+x-2a)(a2-x+2a)：6．(x+y)(x2-4xy+y2)；7．xy(x2+x+1)(x2-x-1)；8．(x2+x+1)(x-1+p)；9．(9a2+6ab+2b2)(9a2-6ab+2b2)；10．(x2+3x+5)(x2-3x+5)；11．(x-3y+4)2；12．(a+b+1)(a-b+3)．