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第一单元分数乘法一、分数乘法（一）分数乘法的意义：1.分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。例如：98×5表示求5个98相加的和是多少。2.分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。例如：98×43表示求98的43是多少？（二）、分数乘法的计算法则：1.分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）2.分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。3.为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。（三）、规律：（乘法中比较大小时）一个数（0除外）乘大于1的数时，积大于这个数。一个数（0除外）乘小于1的数时，积小于这个数。一个数（0除外）乘1时，积等于这个数。（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。（五）、整数乘法交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。交换律：a×b=b×a结合律：(a×b)×c=a×(b×c)分配律：(a+b)×c=ac+bc二、分数乘法的解决问题已知单位“1”的量，求单位“1”的几分之几是多少，用乘法。1.画线段图：（1）两个量的关系，画两条线段图；（2）部分与整体的关系，画一条线段图。2.找单位（1）：在分率句中分率的前面，或“占”、“是”、“比”的后面3.求一个数的几倍：一个数×几倍求一个数的几分之几是多少：一个数×几几4.写数量关系式技巧：（1）“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”（2）分率前是“的”单位“1”的量×分率=分率对应量（3）分率前事“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量三、倒数1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数。）2.求倒数的方法：（1）求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。（3）求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。（4）求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。3.1的倒数是1,0没有倒数。4.对于任意数a(a≠0)，它的倒数为a1；非零整数a的倒数为a1；分数ab的倒数是ba。5.真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1.第二单元分数除法一、分数除法1.分数除法的意义：乘法：因数×因数=积除法：积÷一个因数=另一个因数分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。2.分数除法的计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。3.规律（分数除法比较大小时）：（1）、当除数大于1时，商小于被除数；（2）、当除数小于1时（不等于0），商大于被除数；（3）、当除数等于1时，商等于被除数。4.“［］”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。二、分数除法解决问题（单位“1”的量是未知的，用除法）：已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。1.数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）.分率前是“的”单位“1”的量×分率=分率对应量(2.)分率前是“多或少”的意思单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量2.解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为x,用方程解答。（2）算术：用除法：分率对应量÷对应分率=单位“1”的量3.求一个数是另一个数的几分之几：一个数÷另一个数4.求一个数比另一个数多（少）几分之几：两个数的相差量÷单位“1”的量或①求多几分之几：大数÷小数-1②求少几分之几：1-小数÷大数三、比和比的应用（一）比的意义1.比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2.在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。）3.比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量，例：路程÷速度=时间4.区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5.比和除法、分数的关系：比前项比号“：”后项比值除法被除数除号“÷”除数商分数分子分数线“—”分母分数值6.比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一种数，比表示两个数的关系。7.根据比和除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0、体育比赛中出现两队的分是2:0等，这只是一种计分形式，不表示两个数相除的关系。（二）、比的基本性质1.根据比、除法、分数的关系商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。2.最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。3.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。4.路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4:5，时间比是5:4）工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。（如：工作总量相同，工作时间比是2:3，工作效率比则是2：3）第三单元圆一、认识圆1.圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2.圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母o表示，它到圆上任意一点的距离都相等。3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。5.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。6.在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的21.用字母表示为：d=2r或r=2d8.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。9.只有1条对称轴的图形：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。长方形：2条；正方形：4条；等边三角形：3条；圆和圆环：无数条。二、圆的周长1.圆的周长：围成远的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。2.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π表示。（1）一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环的小数。在计算时，一般取π≈3.14.（2）在判断时，圆周长与它的直径的比值是π倍，而不是3.14倍。（3）世界上第一个把圆周率算出来的人使我国数学家祖冲之。3.圆的周长公式：C=πdd=C÷π或C=2πrr=C÷2π4.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。5.区分周长的一半和半圆的周长：（1）周长的一半：等于圆的周长÷2计算方法：2πr÷2即πr（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半＋直径。计算方法：πr+2r、三、圆的面积1圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。2一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。3圆的面积公式的推导把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图形越接近长方形。长方形的长=圆周长的一半长方形的宽=圆的半径因为：长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=圆周长的一半×圆的半径圆的面积公式：S圆=πr×rS圆=πrr4.环形的面积：S环=πRr－πrr5.一个圆，半径扩大或缩小a倍，直径和周长也扩大或缩小a倍，而面积扩大或缩小的倍数是a的平方倍。6.两个圆：半径比=直径比=周长比，而面积比等于这个比的平方。例如：两个圆的半径比是2:3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3，面积比是4:9.7.任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即4：π8.当长方形、正方形、圆的周长相等时，它们的面积：圆﹥正方形﹥长方形当长方形、正方形、圆的面积相等时，它们的周长：长方形﹥正方形﹥圆9.常用各π值结果：π=3.142π=6.283π=9.424π=12.565π=15.76π=18.847π=21.988π=25.129π=28.2610π=31.416π=50.2425π=78.536π=113.0464π=200.9696π=301.44第四单元百分数一、百分数的意义和写法1.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。2.百分数和分数的主要联系和区别。（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。（2）区别：一是意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；分数可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。二是：百分数的分子可以是整数，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数3.百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示。二、常见的分数与小数、百分数之间的互化。21=0.5=50%41=0.25=25%43=0.75=75%51=0.2=20%52=0.4=40%53=0.6=60%54=0.8=80%81=0.125=12.5%83=0.375=37.5%85=0.625=62.5%87=0.875=87.5%251=0.04=4%252=0.08=8%253=0.12=12%254=0.16=16%三、用百分数解决问题（一）一般应用题1.常见的百分率的计算方法：合格的产品数发芽种子数（1）合格率=×100%（2）发芽率=×100%产品总数种子总数出勤人数达标学生人数（3）出勤率=×100%（4）达标率=×100%总人数学生总人数成活的数量粉的重量（5）成活率=×100%（6）出粉率=×100%总数量出粉物的重量烘干后的重量烘干前的重量—烘干后的重量（7）烘干率=×100%（8）含水率=×100%烘干前的重量烘干前的重量一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）2.百分数应用题方法同分数应用题。（二）折扣1.折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通称“打折”。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如：六折就是百分之六十（60%）2.成数：一成是十分之几，也就是10%。三成五就是十分之三点五，也就是35%。五成就是50%。第六单元统计一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比。二、常用统计图的优点：1.条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。2.折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰的看出数量的增减变化情况。3.扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关系，圆心角越大，扇形越大。