六招搞定分式方程的检验

六招搞定分式方程的检验湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学赵国瑞先看两道解分式方程的题目：(1)；(2)。解：(1)方程两边同乘以，得﹒解得x=3﹒(2)方程两边同乘以，得﹒解得x=0﹒方程(1)中未知数的取值范围是，方程(2)中未知数的取值范围是﹒在去分母将分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围扩大到了全体实数﹒这时，若所得整式方程的解不在扩大的部分，那么所得的解就是原分式方程的解，如方程(2)的解x=0；若整式方程的解恰好在扩大的部分，那么此解就是原分式方程的增根，如方程(1)的解x=3﹒由此可见，增根是由于在分式方程转化为整式方程的变形过程中，未知数的取值范围扩大而导致的，这是增根产生的原因﹒虽然在解分式方程时可能产生增根，但它可以通过“检验”找出来﹒那么如何对分式方程进行检验呢？下面向你介绍六招：第一招代入验根法将所得的根代入原方程的左、右两边，若左边等于右边，则此根即为原方程的根，否则，此解为原方程的增根．例1方程的解为＿＿．解：方程两边同乘以，得﹒解得﹒检验：把代入原方程，得左边==，右边==，左边=右边，∴原方程的解．点评：运用代入检验法，不仅能检验出原方程的增根，而且可以检验出求得的根是否正确．第二招比较检验法令分式方程中各分母等于零，求出使各分母为零的未知数的值，然后与所得的根进行比较，相同的即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒例2解方程解：方程两边同乘以，得﹒解得．检验：令=0，得；令=0，得．比较，得是原方程的根﹒点评：比较检验法适合所得根比较复杂的题型．第三招公分母检验法把解得的根代入所乘的最简公分母中进行判别，使公分母为零的值即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒例3解方程．解：方程两边同乘以，得．解得．把代入，得=1≠0，∴是原方程的根．点评：公分母检验法比较简单，因此常被广泛地应用﹒第四招无需检验法虽然在解分式方程时可能产生增根，但对于某些特殊的分式方程，我们可以用合并法(把同分母分式合并)，从而避免分式方程产生增根，因此用这种方法解分式方程无需验根﹒例4解分式方程，可知方程()A．解为B．解为C．解为D．无解解：原方程即，，，即1=8．∴原分式方程无解．答案选D．点评：本题若按常规方法会产生增根．由于运用了合并法，从而避免了增根的产生，因此运用合并法解分式方程不需要检验．除了运用合并法可以避免分式方程产生增根外，还可运用换元法避免分式方程产生增根，如在解分式方程时，若按常规方法会产生增根，若采用换元法，设，则﹒原方程可化为﹒即﹒0=-2．∴原方程无解﹒第五招根据取值范围检验例5已知x为实数，且，那么的值为()A．1B．-3或1C．3D．-1或3解：设，原方程变形为．即．解得，．经检验，，都是原方程的根．但，∴．而不满足，满足．∴是原方程的根，故应选A．点评：本题有意识地为同学们设置了一个“陷阱”，如果不注意的值的范围，极易错选B，正中命题者的“陷阱”．第六招根据题意检验例6A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道？解：设甲工程队每周铺设管道x千米，则乙工程队每周铺设管道千米．根据题意，得．方程两边同乘，得．整理，得．解得x=-2或x=3．经检验，x=-2或x=3都是原方程的根．由于x表示甲工程队每周铺设管道的长度，不可能为负数，因此x=-2不合题意，所以x=3．点评：解分式方程应用题要注意进行“双重”检验：不仅要对方程的解进行检验，还要对题意进行检验，看看方程的解是否符合问题的实际意义．2011-08-09人教网