关于不动点法的思考2

关于不动点法求递推数列通项的思考关于利用不动点法求递推数列的通项这方面，我对于的感受是对于高三的学生来说还是有一定难度的；但是它又经常出现在考试的题目中，翻看2012年全国数学卷上第22道大题的时候，像到该题求数列的通项的解法就是利用老师课堂上讲的“不动点”法进行求解的。具体题目如下：函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。（1）证明：2xn＜xn+1＜3；(2）求数列{xn}的通项公式。（2）由xn1=234xxnn可得到该数列的一个特征方程：x2-2x-3=0，则x=1或-3；则：xn1-3=234xxnn-3=23xxnn，xn1-（-1）=234xxnn-（-1)=255xxnn,两式子相除可得：1311xxnn=535xxnn=51×13xxnn，又因为5311xx=1232=31，所以数列{13xxnn}是以31为首项，51为公比的等比数列，13xxnn=31×151n，则求出11535911nnnx=3-14531n即可。这道题的第一问这里不重点说明；第二个问题在解答的时候答案上用到的数列特征方程的方法，使解题游刃而解。我觉得实质上它就是函数的“不动点法”的具体体现。那么什么是不动点法呢？它的定义为：若满足方程f(x0）=x0则称x0是函数f(x0）的一个不动点。利用递推数列f(n）的不动点，可将某些由递推关系an=f(an1）所确定的数列转化为较易求通项的数列，这种方法称为不动点法。这种方法在求等比数列或等差数列的时候很方便，很有实用。现在通过奥林匹克的进一步学习，我对用不动点法解题也更熟悉一点。下面我举出中学中比较常见的两种递推数列用不动点解题的一般步骤。结论1：若baxxf（a0，a1),β是xf的不动点，数列{an}满足递推关系aannf1（n1），则anβ=a（an1-β），即{anβ}是以a1β为首项，以a为公比的等比数列。这个结论的证明如下：因为β是xf的不动点，则aβ+b=β，bβ=aβ，由aannf1=baan1.，得anβ=baan1.-β=aaan1.β=ana1(β），所以其结论成立。这种解法在解很多数列中都能用到。例如：已知数列{an}中，11a，32311aann，求an。如果对上面的结论较为熟悉的话，很明显就可以看出这道题可以用不动点法解答。解析：令xaann1，则求出方程的不动点为21x，则利用上面结论的步骤，即)21(31213231211aaannn，所以1312121nna，即2131211nna;这样就解答出了an。结论2：设dcxbaxxf0,0bcadc，an满足递推关系aannf1（n1），且aaf11，⑴若xf有两个相异的不动点p、q，则qpkqpaaaannnn11，其中qcapcak。⑵若xf只有唯一不动点p，则kppaann111，其中pcacdack2；其中这两个小结论可以通过例题的实际计算得到证明。例题1：如2012年全国数学卷上的那道题，利用不动点法进行解题的过程就是⑴的实际应用，但是这道题是高考试卷中的压轴题，对于参加高考的学生来说是有一定难度的，如果平时没有遇到或训练过这类题目，是很难解答的；例题2:已知数列{an}中，531a，aann112（n≥2），则a2008（），31.A53.B20082009.C40094011.D,刚开始看到这道题，我觉得它只是一道选择题，没有必要像解大题一样去解答，我选择的方法是归纳猜想，因为531a，则312a，13a，134a，355a，576a...算出后面的若干项，可以看出从第四项开始an的分子都比分母大二，而答案选项中只有D答案是这样的情况，所以就选择了D。答案是正确的，但其实这道题也可以用上面的结论去解答。另xnaan1，可求出唯一的不动点为,1x则11211aann，即aaannn1111，两边取倒数得：11111aaannn=111111111aaaannnn，则数列{11an}是以251531111a为首项，以1为公差的等差数列。则11an=27)1(25nn，则7252nnan，所以400940112008a，即D项即为正确答案。不动点法其实是通过构造新的等比或等差数列，使得问题简单化且思路明显。在高中三年纪的总复习过程中，经常在模拟题或复习资料中出现一些这样的求数列的通项的问题，这类题目与课本上的等比或等差数列有一定的差别，超出于教材之外，但又与所学数列知识紧密相连，能够较高水平地考查学生的逻辑思维与分析问题的能力，因此它常被命题者命进平时考试试题甚至高考题中。所以在高中的时候老师也给我们找了很多这样类型的题来进行相应的题型训练。而在中学奥林匹克这门课的课堂上我又进一步学习了它。这门课学习的不动点是在中学的学习上进一步升华，使不动点的适用范围扩展到复数。它也不仅仅只适合于求递推数列的通项，也适用于很多其他方面，这里就不再赘述。用不动点法解答的题型一般有选择题，解答题；但同时它也用于不等式的证明方面的题型。例如：已知数列an中，21a，且满足22121aaannn，...3,2,1n，求证⑴an＜an1；an1＜2；⑵比较nkka11和ak13940的大小，并加以证明；解析：⑴略；⑵在递推式中，另xnaan1，得到方程2212xxx，解得其不动点为2x；则2212221221aaaaannnnn，取倒数得到式子：aaaaannnnn12122211，所以212111aaannn，所以nkka11=1121212121211111aaaaannnkkk，所以aaaaaaaaannnnnnnnnnkka1111121111123913835239394140394012139401，又已知由⑴知an单调递增，且an1＜2；只需要判定1381an的正负即可，又由于21a，以及22121aaannn，可得到;813,2332aa所以当1n时a11＜a23940，当2n时，aaa321394011，当n≥3时，nkka11≥ak13940；至此这道证明题也就解答了；通过这道不等式的证明方面的题目，我们可以看出数列的不动点是求递推数列通项公式与有关问题的关键点和切入点，同时它也是解答这类数列问题的题眼。解这类题的一般步骤可以归纳为:先求出数列的非零不动点a，再把递推关系式an1=anf两边减去不动点a，将递推式变形化为含有aan1和aan的等差数列或等比数列或问题中所需要的式子来求解.用不动点解题具有明确的目标意识，避免了解题的盲目性，增强了解题的自觉性和方向感，不动点以静制动，点到路开，一点就通，它很大程度上打开了学生做题的解题思路，锻炼了学生的思维能力。求递推数列的通项公式或者研究递推数列的性质是高中阶段数学学习的重点和难点内容，也是平时考试的重点，同时也是高考的热点之一，它的解题方法灵活，变化莫测，对学生各方面的能力要求比较高，所以我觉得作为老师要能够及时的给学生补充一下这方面的知识同时也要精益求精争取能够做到多开发，多途径研讨；而作为高中生的话，就要努力掌握不动点法的各种题型，理解它的实质问题，并且能够做到举一反三；只有努力思考，并将这种方法全面系统的融入到数学学习中，学生自己才能够真正掌握它，并在考试中不会丢分数。总之，不动点法的各种运用，特别是在用它求递推数列的通项公式方面，还需要不断地努力开发和掌握。题目：中学数学奥林匹克姓名：王金玲学号：1001114031班级：应数1班