高等数学(上)重要知识点归纳

1高等数学（上）重要知识点归纳第一章函数、极限与连续一、极限的定义与性质1、定义（以数列为例）,,0limNaxnn当Nn时，||axn2、性质(1))()()(lim0xAxfAxfxx，其中)(x为某一个无穷小。(2)(保号性）若0)(lim0Axfxx，则,0当),(0xUxo时，0)(xf。(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。二、求极限的主要方法与工具1、*两个重要极限公式(1)1sinlim0(2)e)11(lim2、两个准则(1)*夹逼准则(2)单调有界准则3、*等价无穷小替换法常用替换：当0时（1)~sin（2）~tan（3）~arcsin（4)~arctan（5）~)1ln(（6）~1e（7）221~cos1（8）nn~1124、分子或分母有理化法5、分解因式法6用定积分定义三、无穷小阶的比较*高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类1、连续的定义*)(xf在a点连续)()()()()(lim0lim0afafafafxfyaxx2、间断点的分类其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类3、曲线的渐近线*axxfAyAxfaxx则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim)2(,)(lim)1(五、闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理3第二章导数与微分一、导数的概念1、导数的定义*axafxfxafxafxydxdyafyaxxxaxax)()(lim)()(limlim|)(|002、左右导数左导数axafxfxyafaxx)()(limlim)(0右导数axafxfxyafaxx)()(limlim)(03、导数的几何意义*kafaxfyax处的切线斜率在点（曲线))(,)(|4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(tatvtstvtstss5、可导与连续的关系:连续，反之不然。可导二、导数的运算1、四则运算vuvu)(vuvuuv)(2)(vvuvuvu2、复合函数求导设)]([xfy，一定条件下xuuydxdududydxdy3、反函数求导设)()(1yfxxfy和互为反函数，一定条件下：yxxy14、求导基本公式*（要熟记）45、隐函数求导*方法：在0),(yxF两端同时对x求导，其中要注意到：y是中间变量，然后再解出y6、参数方程确定函数的求导*)()(tyytxx设，一定条件下3)()(,tttttttttxxttxxxyxyxxydxydyxydxdyy（可以不记）7、常用的高阶导数公式（1）...)2,1,0(),2sin(sin)(nnxxn（2）...)2,1,0(),2cos(cos)(nnxxn（3）...)12(,)1()!1()1()1(ln1)(nxnxnnn（4）...)2,1,0(,)1(!)1()11(1nxnxnnn（5）（莱布尼茨公式）nkkknknnvuCuv0)()()()(三、微分的概念与运算1、微分定义*若)(xoxAy，则)(xfy可微，记AdxxAdy2、公式：dxxfxxfdy)()(3、可微与可导的关系*两者等价4、近似计算当较小时，||xdyy，xxfxxfxf)()()(5第三章导数的应用一、微分中值定理*1、柯西中值定理*)()()()()()(),,,0)(3),()()()2(],[)()()1(agbgafbfgfbaxgbaxgxfbaxgxf使得：（则：）（内可导在、上连续在、当取xxg)(时，定理演变成：2、拉格朗日中值定理*))(()()()()()(),,abfafbfabafbffba使得：（当加上条件)()(bfaf则演变成：3、罗尔定理*0)(),,fba使得：（4、泰勒中值定理在一定条件下：)()(!)(...))(()()(00)(000xRxxnxfxxxfxfxfnnn其中),)(()()!1()()(010)1(nnnnxxoxxnfxR介于xx、0之间.当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理.当00x时，公式变成:5、麦克劳林公式)(!)0(...)0()0()()(xRxnfxffxfnnn66、常用麦克劳林展开式（1）)(!1...!212nnxxoxnxxe（2）)()!12()1(...!5!3sin212153nnnxoxnxxxx（3）)()!2()1(...!4!21cos12242nnnxoxnxxx（4）)()1(...32)1ln(132nnnxoxnxxxx二、罗比达法则*记住：法则仅能对,00型直接用，对于,,0,1,,000转化后用.幂指函数恒等式*fggefln三、单调性判别*1、,0yyyy02、单调区间分界点：驻点和不可导点.四、极值求法*1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.2、求出可疑点后再加以判别.3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.4、第二判别法：一阶导等于0，二阶导不为0时，是极值点.正为极小，负为极大.五、闭区间最值求法*找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.7六、凹凸性与拐点*1、,0yyyy02、拐点：曲线上凹凸分界点),(00yx.横坐标0x不外乎不存在或)(,0)(00xfxf，找到后再加以判别0x附近的二阶导数是否变号.七、曲率与曲率半径1、曲率公式232)1(||yyK2、曲率半径KR18第四章不定积分一、不定积分的概念*若在区间I上，dxxfxdFxfxF)()(),()(亦，则称.)()(的原函数为xfxF称全体原函数F(x)+c为f(x)的不定积分，记为dxxf)(.二、微分与积分的互逆关系1、dxxfdxxfdxfdxxf)()()(])([2、cxfxdfcxfdxxf)()()()(三、积分法*1、凑微分法*2、第二类换元法3、分部积分法*duvuvudv4、常用的基本积分公式(要熟记).第五章定积分一、定积分的定义niiixbaxfdxxf10)(lim)(二、可积的必要条件有界.三、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或单调.四、几何意义定积分等于面积的代数和.9五、主要性质*1、可加性babcca2、估值在[a,b]上，baabMdxxfabm)()()(3、积分中值定理*当f(x)在[a,b]上连续时：babaabfdxxf],[),)(()(4、函数平均值：abdxxfba)(六、变上限积分函数*1、)(])([)()(],[)(xfdttfdttfxFbaxfxaxa可导，且连续，则在若2、)()]([])([)(],[)(xxfdttfxbaxfxa）（可导，则：连续，在若七、牛-莱公式*)()(|])([)(],[)(aFbFdxxfdxxfbaxfbbaa连续，则在若八、定积分的积分法*1、换元法牢记：换元同时要换限2、分部积分法bababavduuvudv|3、特殊积分（1）aaaxfdxxfxfdxxf0)(,)(2)(,0)(为偶函数时当为奇函数时当（2）当f(x)为周期为T的周期函数时：TnTaaZndxxfndxxf0,)()(（3）一定条件下:00)(sin2)(sindxxfdxxxf10（4）是正偶数时，！是正奇数时，nnnnnnxdxxdxnn2!!)!1(!!)!1(cossin2020（5）200sin2sinxdxxdxnn九、反常积分*1、无穷区间上)()(|)()(lim)(aFFxFdttfdxxfaaxax其他类似2、p积分：apppadxx时发散时收敛11:)0(13、瑕积分：若a为瑕点：则)()(|)()(lim)(aFbFxFdttfdxxfbababxax其他类似处理第六章定积分应用一、几何应用1、面积（1）dyxxAdxyyAbaba）（）（左右下上--（2）),(,)()(:ttyytxxC则dttxtyA|)()(|（3）dC）（围成图形面积，（，与221A)),(:2、体积*（1）旋转体体积*baxdxyV2dcydyxV2或baydxxyV2（2）截面面积为)(xAA的立体体积为badxxAV)(113、弧长（1）)(12bxadxysba（2）)(,)()(22tdttytxs（3）)(,22ds二、物理应用1、变力作功一般地：先求功元素：],[,)(baxdxxFdw，再积分badxxFw)(克服重力作功的功元素dw=体积g位移2、水压力dP=水深面积g第七章微分方程一、可分离变量的微分方程形式：)()(ygxfdxdy二、一阶线性微分方程*1、线性齐次：0)(yxpy通解公式*：dxxpCey)(2、线性非齐次)()(xqyxpy通解公式*：))([)()(Cdxxqeeydxxpdxxp