关于分段函数定积分的计算

1关于分段函数定积分的计算屈俊(太原师范学院数学系山西太原030012)摘要分段函数定积分的计算具有很强的技巧性，本文通过例题分别讨论了分段连续函数定积分的计算及分段有界非连续函数定积分的计算.关键词定积分；分段连续函数；分段有界非连续函数.中图分类号O172关于分段函数的定积分，一般书中涉及很少，但它在高等数学中却占有一定的地位.利用它可以充分阐述定积分的概念与理论，同时，它的计算题具有典型的技能与技巧，是各类考试的一个热点内容。本文着重讨论它的计算，目的在于进一步丰富高等数学的内容，并有助于提高学生的计算能力.1.分段连续函数定积分的计算1.1利用定积分的性质进行计算定理1若)(xf在],[ba上分段连续，1,,2,1nixi为)(xf的分段点，且.,)(,,)(,,)()(121211bxxxfxxxxfxxaxfxfnn则bxnxxxabandxxfdxxfdxxfdxxf1211)()()()(21.证略例1求.)1(20dxxf其中.0,11,0,21)(xexxxfx解根据)(xf的表达式，有.1,11,1,11)1(1xexxxfx由定积分的性质:,1111)1(2120101dxxdxedxxfx交稿日期:2010-1-16屈俊女1959.9副教授数学教育方向电话2278103电子信箱[e-mail]2其中,111101101dtedxetx令teu，duudt1,)1(ln21ln11ln21ln1ln)1(1111110110111eeuuuududtedxeeetx,23ln1121dxx则.)1(43ln23ln)1(ln21ln)1(eedxxf例1的关键在于写出函数表达式)1(xf，然后用定积分的性质分段计算.例2已知,4212||12)(2xxxxxf求k的值使3340)(kdxxf.解dxxdxxdxxfkk)1()12()(32223)(340)31()(232322kkxxxxk,有,340)(3402kk即02kk,得1,0kk.可以验证k不能大于2.例3设.)||1(,11dttxx求解被积函数)(tf实为分段函数，即01011||1)(xtxtttf分两种情况考虑，当01x时211)1(21)1()||1(xdttdttxx当0x时.)1(211)1(21)1(21)1()1()||1()||1(.)||1(2020120100011xttdttdttdttdttdttxxxx例3是求分段函数变上限的定积分,题目中需要对x的取值范围进行讨论，这种方法有代表性.31.2应用牛顿－莱布尼茨公式进行计算定理2设)(xf在],[ba上连续，)(xF是)(xf的任一原函数，则baaFbFdxxf)()()(.注意：这里)(xF是由一个表达式给出的，对于分段连续函数)(xf来讲，当)(xF也表为分段连续函数时有以下定理.定理3若)(xf在],[ba上分段连续，1,,2,1nixi为)(xf的分段点，且.,)(,,)(,,)()(1212101bxxxxfxxxxfxxxaxfxfnnn)(xF是)(xf任一原函数，且在],[ba上连续，分段，.,)(,,)(,,)()(1212101bxxxxFxxxxFxxxaxFxFnnn其中xxfxFii,)()(],[1iixx，,,,2,1ni则banaFbFdxxf)()()(1.证由定理1及定理2有.)()()()()()()()()()(11222111211211nnnbxnxxbaxaxFbFxFxFaFxFdxxfdxxfdxxfdxxfn又因为)(xF是],[ba连续函数,所以,)()(,,)()(,)()(11123221211nnnnxFxFxFxFxFxF故定理3成立.例4求dxx322},1{max.解由题意.1,11,11,},1{max222xxxxxx4.1,311,1,3},1{max332132xCxxCxxCxdxx由)(xF是连续函数,所以33121211313limlim,lim3limCxCxCxCxxxxx有3221311,131CCCC,得232132,32CCCC,令02C.1,32311,1,323)(33xxxxxxxF则CxFdxx)(},1{max2.由定理3有dxx322},1{max=323)2(323333=13.例4与例3的计算方法不同，须先求出},1{max2x的不定积分，然后应用定理3.2分段有界非连续函数定积分的计算2.1分段有界有限个间断点函数的情况定理4若)(xf在],[ba上有界,且仅有有限个间断点,则)(xf在],[ba上R可积.证略例5设101sin01,)(xxxxxf,求11)(dxxf.解因为)(xf在]1,1[上有界且只有一个间断点,由定理4及定积分的性质,有5.1cos21)cos(2)1sin()(10012100111xxxdxxdxxdxxf例6计算.][20dxex解由于此函数在]2,0[上有界，且有有限个间断点，函数可积，又872e,由定理4及定积分的性质,有.!7ln14)7ln2(7)6ln7ln(6)2ln3ln(22ln7621][][][][][27ln7ln6ln3ln2ln2ln027ln7ln6ln3ln2ln2ln020dxdxdxdxdxedxedxedxedxexxxxx2.2分段有界有无限个间断点函数的情况例7求dxxxEsin|cos|，其中,,2,1,0,)12(,0nnE，且使得被积函数有定义的一切值的集合.解,)12(,20kkEnk.3)1(434)sin(32)sin(32sincossincossin|cos|sin|cos|00)12(2223222230)12(22222)12(20nxxdxxxdxxxdxxxdxxxInknkkkkknkkkkkkknkE例7不仅间断点是无限多个，而且积分区间也是不连续的，这种计算技巧性更大一些.参考文献[1]同济大学应用数学系高等数学(上)[M]5版北京高等教育出版社2002.[2]华东师范大学数学系数学分析(上)[M]3版北京高等教育出版社2001.[3]曹敏谦数学分析习题集题解(6)[M]上海上海交通大学出版社1984.6OndefiniteintegralcalculationofpecewisefunctionQuJunDepartmentofMathematics,TaiyuanTeachersCollege,Taiyuan,Shanxi030012,P.R.ChinaAbstract:Definiteintegralcalculationofpecewisefunctionneedtostrongertechnique.Inthispaper,bysomeexamples,definiteintegralcalculationsofpecewisecontinuousfunctionandpecewiseboundedfunctionwithoutcontinuityarediscussed.Keywords:Definiteintegral;pecewisecontinuousfunction;pecewiseboundedfunctionwithoutcontinuity.