电路分析的基本方法及定理

第二章2-1§2-5节点电压法首先介绍节点电压的概念。在电路中，当选取任一节点作为参考节点时，其余节点与此参考节点之间的电压称为对应节点的节点电压。在图2-5-1所示电路中，当选择c点作为参考节点时，a点与c点间的电压acU称为a点的节点电压，同理b点的节点电压为bcU，常简写为abUU、。以节点电压作为未知量，对1n个独立节点列写KCL方程，从而求出各节点电压继而进一步求解其他电量的电路分析方法，称为节点电压法。下面以图2-5-1所示电路为例，推导节点电压方程。假设已知12345,,,,,RRRRR6146,,,SSSRIUU。以节点c为参考节点，选择各支路电流参考方向如图所示，对独立节点a、b列写KCL方程，得到：12341345602510252aSbnIIIIInIIII：（式）：（式）其中：111aaUIGUR（式2-5-3）222aaUIGUR（式2-5-4）333()ababUUIGUUR（式2-5-5）44444()absabsUUUIGUUUR（式2-5-6）555bbUIGUR（式2-5-7）图2-5-1第二章2-26666666()sSUUIGUUR（式2-5-8）将（式2-5-3）~（式2-5-8）代入（式2-5-1）、（式2-5-2）中，整理得到：1234344413434564466()()(2-5-9)()()(2-5-10)abSSabSSGGGGUGGUGUIGGUGGGGUGUGU式式联立求解可得abUU、，再代入（式2-5-3）~（式2-5-8）即得到各支路电流。（式2-5-9）（式2-5-10）可写成如下形式：(2-5-11)(2-5-12)aaaabbsSaabaabbbsSbbGUGUGUIGUGUGUI式式式中：aaG称为节点a的自电导，它等于与节点a相连的各支路导纳之和，总取正；bbG称为节点b的自电导，它等于与节点b相连的各支路导纳之和，总取正；abG()baG称为节点ab、之间（ba、之间）的互电导，它等于ab、两节点间各支路电导之和，总取负。对于一个含有n个节点、b条支路的一般电路，可对(1)n个独立节点列写节点电压方程：1111221(1)(1)(1)(1)2112222(1)(1)(2)(2)(1)11(1)22(1)(1)(1)(1)(1)nnSSnnSSnnnnnSSnnGUGUGUGUIGUGUGUGUIGUGUGUGUI（式2-5-13）选择（式2-5-13）中任意独立节点k，写出节点电压方程的一般式：(1)1()()nkkkkjjSSjkkjkGUGUGUI（式2-5-14）（式2-5-14）包含了四大项，每一项含义了解清楚了，列写节点电压方程的规律也就掌握了。下面逐项分析：左边第一项kkkGU：（式2-5-14）是针对独立节点k列写的节点电压方程，因而节点k称为主节点，其余独立节点称为主节点k的相邻节点。第一项就是主节点电压kU乘以其自电导kkG，即主节点电压乘以与主节点相连的各支路电导之和，它总取正;第二章2-3左边第二项(1)1nkjjjjkGU：各个相邻节点电压jU乘以主节点k与该相邻节点j之间互电导kjG之和，即各个相邻节点电压乘以主节点与该相邻节点之间各支路导纳之和的总和，它的每一项总取负。右边第一项()SkGU：与主节点k相连的各电压源电压乘以该支路电导的代数和，其中当电压源的电势方向指向主节点k时，取正；反之，取负；右边第二项()SkI：与主节点k相连的各电流源电流的代数和，其中当电流源的电流流向主节点k时取正；反之，取负。利用节点电压法求解电路，既可以分析平面电路，也可以分析非平面电路，只要选定一个参考节点就可以按上述规则列写方程进行求解了。当一个电路中独立节点数少于独立回路数时，用节点电压法求解比较方便。特别是当电路只含两个节点时，选择一个节点作为参考节点，只剩下一个独立节点，因而只有一个节点电压方程：(1)(1)111ssGUIUG（式2-5-15）（式2-5-15）就是米尔曼定理，也称为米尔曼公式。例2-5-1请列写图2-5-2所示的典型节点①的节点电压方程。解：由于电导G2与电流源IS2串联即等效电流源IS2，电导G4、电压源US4与电流源IS4串联即等效电流源IS4，根据节点电压法得到：6666(1)13501(2)3(3)5(5)6666661133362466[]()()sSSSSSGGGGUGGGGGUGUGUGGGGGGGUGUUUIIGG图2-5-2例2-5-1附图第二章2-4例2-5-2已知1456,8,3,SSSUVUVIA1233,2,6RRR，454,7RR，利用节点法求图2-5-3所示电路中各支路电流。解：以c点作为参考节点，对独立节点a、b列写节点电压方程：节点a：11233111111()abSUUURRRRR节点b：453434111()SbaSUUUIRRRR代入数据得到：2.57()aUV3.43()bUV1111.14()SaUUIAR221.29()aUIAR330.14()abUUIAR4442.86()bSUUIAR553()SIIA当电路中含有受控源时，列写方程的原则仍然是：首先将受控源视为独立源列写节点电图2-5-3例2-5-2附图第二章2-5压方程，然后再增加相应的附加方程，用以建立控制量与节点电压间的关系。例2-5-3图2-5-4所示电路含有两个受控源，电路参数和电源值已在图中注明，求各节点电压。解：以节点d作为参考节点，对独立节点a、b、c列写节点电压方程：节点a:1114()422222abUUU节点b：1111116()22222222abcUUUI节点c：1116()412222bcUU附加方程：4aUU2abUUI联立求解得：54()7aUV，32()7bUV，72()7cUV例2-5-4将数字量转换为模拟量称为数/模（D/A）转换。把三位二进制数（数字量）转换为十进制数（模拟量）的数/模变换解码电路如图2-5-5（a）所示。设十进制数为K，图2-5-4例2-5-3附图图2-5-5例2-5-4附图第二章2-6则210210222Kbbb，式中b0、b1、b2为二进制数代码，只能取“0”或“1”。将开关20、21、22分别与二进制数码的第一、二、三位输入端相对应。当该位代码为“1”时，对应开关接通电源US；当该位代码为“0”时，则对应开关接地。已知R=1Ω。解：假设各开关均接通“1”的位置，如图2-5-5（b）所示，列写节点a、b、c的节点电压方程：a点：111(1)222abSUUUb点：11(11)22abcSUUUUc点：111(1)222bcSUUU如果各开关接通“0”的位置，则上述三个方程的右边均为0，所以得到与各位代码相关的节点电压方程：a点：0122abSUUbUb点：15122abcSUUUbUc点：2122bcSUUbU解之得：2102102104211(222)2612cSSbbbUUUbbb令US=12V，则210210222cUbbb倘若二进制代码为“111”，则2101212127cU倘若二进制代码为“100”，则2101202024cU§2-6改进节点法如果电路中含有纯电压源支路，例如图2-6-1所示电路，节点a、b间的支路3仅由一个纯电压源构成，当以c点作为参考节点时，用节点电压法求解遇到了问题，即支路3的导纳为无穷大，无法列写节点a、b的节点电压方程，为此，要对节点电压法进行改进。节点电压法是对各个独立节点列写KCL方程，然后用各个节点电压去表示各支路电流，最后整理推导而得。对于含有纯电压源支路的电路，纯电压源所在支路电流无法用节点电压表示，因而只能先假设该支路电流。以图2-6-1所示电路为例，设纯电压源3SU所在支路电流为3I，对a、b两节点列写KCL方程，即：节点a:1230III第二章2-7节点b：3450III用节点电压aU、bU表示124III、、和5I，并整理得到：节点a:123121211()SSaUUUIRRRR（式2-6-1）节点b：453454511()SSbUUUIRRRR（式2-6-2）（式2-6-1）（式2-6-2）中含有3个未知量，除两独立节点的节点电压aU、bU外，还有电压源所在支路电流3I。显然还需增加一个方程才能求解，很容易知道这个方程是：3abSUUU（式2-6-3）仔细观察（式2-6-1）~（式2-6-3）后发现，运用节点电压法求解含纯电压源支路电路的方法是：首先将纯电压源所在支路当作电流源支路列写节点电压方程，由于引入了电流源电流（即电压源所在支路电流）新的未知量，因而需补充电压源两端电压与节点电压间的约束关系，上述求解方法就是改进节点法。例2-6-1如图2-6-2所示电路，已知152410,5,1SSUVUVGGS，360.5GGS，求两电压源发出的功率。图2-6-1图2-6-2例2-6-1附图第二章2-8解：以节点d作为参考节点，节点a、b、c的电压分别是,abcUUU、、。从图中可以看出：1aSUU所以只要以电流为5I的电流源替代5SU所在的纯电压源支路，列写节点b、c的节点电压方程：节点b：4345()abGUGGUI节点c：6265()acGUGGUI增加方程：2bcSUUU代入数据，得以下方程组：5510()1.50.51.55aabaCbCUVUUIUUIUU求解方程组得到：510(),7.5(),2.5(),1.25()abcUVUVUVIA333.75()bIGUA44()2.5()abIGUUA66()3.75()acIGUUA1466.25()IIIA电压源1SU发出的功率是：11162.5()SPUIW电压源5SU发出的功率是：5556.25()SPUIW