电路分析基础第2章-电路的分析方法-共73页

1第2章电路的分析方法2.1电阻的串联、并联及等效变换2.2电压源与电流源的等效变换2.3支路电流法2.4叠加定理2.5戴维南定理2所谓电路分析，是指在给定电路结构和元件参数的情况下，计算在电源(即激励)的作用下电路中各部分的电流和电压(即响应)当电路中的独立电源都是直流电源，并且电路中电压、电流均不随时间变化时，这类电路称为直流电路，由线性电阻元件、独立电源组成的电路称为线性电阻电路。本章主要以线性电阻电路为例来讨论几种常用的电路分析方法，如等效变换法、支路电流法、叠加定理、戴维南定理等，最后简要介绍非线性电阻电路的分析方法。当然，这里所介绍的各种方法也同样可加以引申而应用到以后要介绍的正弦交流电路的稳态分析中。32.1电阻的串联、并联及等效变换2.1.1电路中两个或两个以上电阻顺序相连，称为电阻的串联，如图2.1.1所示。电阻串联时，通过各电阻的电流是同一个电流。图2.1.1中n个电阻串联时，根据KVLU=U1+U2+…+Un=(R1+R2+…+Rn)I=RI其中nkknRRRRR1214图2.1.1电阻的串联5R称为这些串联电阻的等效电阻，它与这些串联电阻所可以看出，n个串联电阻吸收的总功率等于它们的等效电阻R吸收的功率。R电阻串联时，各电阻上的电压为式(2.1.1)称为电压分配公式，它表明各个串联电阻的电压与其电阻值成正比，或者说总电压按各个串联电阻的电阻值进行分配。URRIRUeqkkk(k=1,2,…,n)(2.1.1)62.1.2电阻的并联电路中有两个或两个以上电阻连接在两个公共节点之间，称为电阻的并联。电阻关联时，各并联电阻两端承受同一个电压。图2.1.2中n个电阻并联时，根据KCLI=I1+I2+…+In即nRURURURU21可得nRRRR111121即nkkRR111(2.1.2)7图2.1.2电阻的并联8可以看出，n个并联电阻吸收的总功率等于它们的等效电阻R吸收的功率。R电阻并联时，各电阻中的电流为式(2.1.3)称为电流的分配公式，它表明各个并联电阻中的电流与它们各自的电导值成正比，或者说总电流按各个并联电例如两个电阻的并联如图2.1.3所示，根据上述结论，有IGGIRRRUIkkkk(2.1.3)21111RRR9图2.1.3两个电阻的并联10即等效电阻R为电流的分配关系为2121RRRRR(2.1.4)IRRRRIRRUIIRRRRIRRUI211222212111(2.1.5)11在此特别提出两并联电阻的分流公式是因为在后续电路一般来说，负载都是并联运用的。若并联的负载电阻越多(负载增加)，则等效的总电阻就越小，在端电压不变的情况下，电路中的总电流和总功率也就越大，但每个负载的电122.1.3对于一个较为简单的线性电阻电路来说，如能通过电阻串联和并联的等效变换来化简电路，就可很方便地求出未知例2.1.1求图2.1.4(a)所示电路中的a、b两点间的等效电阻Rab。解图2.1.4(a)中R2与R3并联，电路可改画成图2.1.4(b)所根据串、并联的有关公式并代入数值，可得311112112111abR13图2.1.4例2.1.1的电路14例2.1.2计算图2.1.5(a)所示电路的电流I4。解在图2.1.5(a)中，R1与R2R12=2ΩR5与R6R56=2Ω首先可将电路简化成图2.1.5(b)所示电路。在图2.1.5(b)中R56又与R7串联，再与R4并联，可简化成图2.1.5(c)，再由图2.1.5(c)简化成图2.1.5(d)Ω2422422R15图2.1.5例2.1.2的电路16可算得A5252122422A551010A5420V20210101243123ab3eqab.IIIIRUIRU172.2电压源与电流源的等效变换我们在前面已经讨论过实际电源的两种模型，即实际电压源和实际电流源，它们的电路模型分别如图2.2.1(a)、(b)中虚线所示。首先来讨论两种电路模型中端电压U和电流I的关系。由图2.2.1(a)可得U=Us-IRs(2.2.1)由图2.2.1(b)有即U=IsRs-IRs(2.2.2)ssRUII18图2.2.1实际电源的两种模型19由式(2.2.1)和(2.2.2)可知，要使两个电源对同一负载输出的电压和电流相等，或者说要使两种电源的伏安特性(外特性)重合在一起，则必须满足条件这说明只要按照式(2.2.3)选择参数，图2.2.2所示实际电ssssss或RUIRIU(2.2.3)20图2.2.2电源的等效变换21关于电源的等效变换，有以下几点需加以强调及说明：(1)电压源和电流源的等效关系是针对外电路而言的，对于电源内部则不等效。因为内部电路的功率消耗情况可能(2)理想电压源(Rs=0)和理想电流源(Rs=∞)之间不存在等效关系。对理想电压源而言，其短路电流Is为无穷大；对理想电流源而言，其开路电压Us为无穷大，这都不能得到有限22(3)在进行电源的等效变换时，一般不限于内阻Rs。只要是一个电压为Us的理想电压源和某个电阻R串联的电路，都可以转化成一个电流为Is的理想电流源和这个电阻并联的(4)在变换过程中，一定要注意变换后的Is与Us的方向应当是统一的，即Is的方向是从Us的“-”指向“+”23例2.2.1试用电源等效变换法求图2.2.3所示电路中的电流I。解将电路中两个10V、1Ω的电压源分别变换为相应的电流源，如图2.2.3(b)所示，再进一步简化成图2.2.3(c)所示的电路，故有A103015.05.0I24图2.2.3例2.2.1图25例2.2.2求图2.2.4所示电路中的I1与I2解对外电路而言，6Ω电阻与6V电压源并联后等效为6V电压源，如图2.2.5所示，由KVL可得由KCLI2=6-3=3AA326121I26图2.2.4例2.2.2图27图2.2.5例2.2.2解图282.3支路电流法实际电路有时是比较复杂的，可能无法用前述几种等效变换的方法来化简电路，但是，不论实际电路如何复杂，它都是由节点和支路组成的。连接于同一节点上的各支路电流之间必然遵循KCL；而构成一个回路的各支路上的电压之间也必定服从KVL。基尔霍夫定律和欧姆定律是分析和计算各种电路的理论基础，这对于各种分析方法来说都是相同的。29对任何一个线性或非线性电路，如果能首先求出各支路中的电流，那么再求诸如支路或元件两端的电压、某元件产生或消耗的功率等，就变得容易多了。这样，我们所关心的就是如何建立起一个电路的支路电流方程并对其进行求解。支路电流法就是以支路电流为未知量来列写电路方程的方法。下面以图2.3.1为例，具体说明支路电流法的应用。1如果电路中有b条支路，且都为未知量，则应该列出b个电路方程。因为在图2.3.1中有两个节点和三条支路，故可设三条支路中的电流为未知量，其参考方向如图2.3.1所示。30图2.3.1支路电流法举例312.根据KCL列出节点电流方程图2.3.1中有a、b两个节点，分别应用KCL，有对节点a：I1+I2-I3=0对节点b：-I1-I2+I3=0显然，这两个方程是重复的，因为其中一个可由另一个变换而成。因此，节点电流方程中有一个是无效的。如果在此设a点为独立节点，则b就为非独立节点;也可反过来设b为独立节点，那么a就为非独立节点，总之，对于非独立节点列写KCL32一般来说，一个电路如果有n个节点，则可以列出n-1个有效的电流方程，或称之为独立的电流方程。在图2.3.1中由于节点数n=2，所以可在上述两式中任取其一作为独立的电3.根据KVL图2.3.1中共有三个回路，即abca、adba、adbca。根据KVL可以列出三个电压方程，但通过分析同样可发现其中仅有两个电压方程是独立有效的。图2.3.1中已设三个支路电流为未知量，共需三个独立的方程，而前面已由KCL列出了一个独立的方程，再由KVL列出两个独立的电压方程，正33一般情况下，对于具有n个节点、bKCL可列出n-1个独立的电流方程，而余下的独立方程数l=b-(n-1)个回路电压方程则可相应地由KVL如何选取适当的电压回路呢？一般情况下，在针对回路列写KVL方程时，如果每个回路中各至少包含一个新的支路，则方程就是独立的。一个较为简便的方法就是按照网孔来列KVL网孔是回路的特殊形式，它的内部没有其他的支路。例如在图2.3.1中，虚线所示的回路abca和adba就是两个网孔，而adbca则不是，这是因为其内部有支路ab。根据有关“网络拓扑理论”的描述可知，电路图中的所有网孔就是一组独立的回路，网孔数必然等于b-(n-1)34通常可在图2.3.1中的网孔内用虚线标出所选定的回路绕KVL方程，当然，也可不必画出虚线而凭观察直接写出KVL方程，连同前面已经列出的KCL方程，本例中共得到以下的方程组23322133113210UIRIRUIRIRIII354.联立求解方程组在具体求解过程中，可用消元法或行列式法来计算未知5.结果检验通常可将计算出的支路电流值对所设定的非独立节点列写KCL方程，或者对未列KVL方程的一个回路进行验算，原则上，任何复杂的电路都可以用支路电流法来求解，但是当支路数目较多时，方程数也相应较多，计算起来较为36例2.3.1在图2.3.2所示电路中，用支路电流法求支路电流I1、I2和I3解选定各支路电流的参考方向如图2.3.2对节点a列KCLI1+I2-I3=0对两网孔分别列KVLI1R1+I3R3=U1I2R2+I3R3=U2将有关数据代入方程组并整理，可得37图2.3.2例2.3.1图38解得用电压平衡关系校验计算结果：取未曾用过的回路adbca列写KVL方程，可得电压的代数和20210102503231321IIIIIIIA5.2A5.1A1321III01020155UUIRIRU可见，结果满足基尔霍夫电压定律，表明计算结果正确。39例2.3.2在图2.3.3所示电路中，已知R1=10Ω，R2=3，R3=R4=2Ω，Is=3A，U1=6V，U2=10V。求支路电流I1、I2、I3及电流源的端电压Us。解该电路共有四条支路，由于R1与Is串联，根据电流源的外特性可知，R1不会改变此条支路中电流的大小，所以这条支路中电流仍为3A，这时，待求的未知变量就变成求解另三个支路电流I1、I2和I3。用支路电流法列出的KCL和KVL方程组为24332132213210URIRIURIRIIIIIs40图2.3.3例2.3.2图41代入有关数据，即有联立求解方程组，可得Uab=I2R3=3.75×2=7.5VUs=IsR1+Uab=3×10+7.5=37.5V102262333221321IIIIIIIA25.1A75.3A5.0321III42电流源发出功率：Ps=UsIs=37.5×3=112.5W电压源U1发出功率：P1=U1I1=6×(-0.5)=-3W(实际作负载用)电压源U2发出功率：P2=U2(-I3)=10×1.25=12.5WP=Ps+P1+P2=112.5-3+12.5=122W423322221124321RIRIRIRIPPPPPsRRRRRW1222)25.1(2)75.3(3)5.0(103222243可见，P=PR如果将图2.3.3中的R1短接，这时各支路电流和U的值均不会受到影响，此时电流源的端电压Us就等于Uab，只有7.5V。而在原图中R1消耗的电功率(90W)全部是由电流源单P′=(37.5-7.5)×3=90W即与R1消耗的电功率相同，可见电流源串联电阻R1后，电流442.4叠加定理叠加定理是分析线性电路的一个重要定理，它反映了线性电路普遍具有