关于梯度散度与旋度的探讨

11方向导数的概念与物理意义1.1方向导数的概念设0M为标量场M中的一点，从点0M出发引一条射线l，点M是l上的动点，到点0M的距离为l。当点M沿射线l趋近于0M（即0l）时，比值0MMl的极限称为标量场M在点0M处沿l方向的方向导数，记作0Ml，即000limlMMMll方向导数的数值既与点0M有关，也与l方向有关。因此，标量场中，在一个给定点0M处沿不同的l方向，其方向导数一般是不同的。方向导数的定义是与坐标系无关的，但方向导数的具体计算公式与坐标系有关。设l方向的方向余弦是cos、cos、cos，即cosdxdl，cosdydl，cosdzdl则得到直角坐标系中方向导数的计算公式为coscoscoslxyz2梯度的概念与物理意义2.1.梯度的定义2标量场在点M处的梯度是一个矢量，梯度的方向是沿标场量变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作grad，即maxlgradel式中le是标场量变化率最大的方向上的单位矢量。2.2梯度的计算式梯度的定义与坐标系无关，但梯度的具体表达式与坐标系有关。在直角坐标系中，若令xyzGeeexyz、coscoscoslxyzeeee结合方向导数的计算公式，可得到()(coscoscos)xyzxyzeeeeeelxyzcos(,)llGeGGe由于xyzGeeexyz是与方向l无关的矢量，由上式可知，当方向l与矢量G的方向一致时，方向导数的值最大，且等于矢量G的模G。根据梯度的定义，可得到直角坐标系中梯度的表达式为xyzgradeeexyz2.3梯度的物理意义3散度的概念及性质3.1散度的概念在分析和描绘矢量场的性质时，矢量场穿过一个曲面的通量是一个重要的基本概念，矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量，不能反映场域内每一点的通3量特性，而散度则表示在某点处的单位体积内散发出来的通量。设某矢量场F(,,)(,,)(,,)(,,)FxyzPxyziQxyzjRxyzk其中P、Q、R具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，n是在点(,,)xyz处的单位法向量，则FndS叫做向量场通过曲面向着指定侧的通量(或流量)，而PQRxyz叫做向量场F的散度，记作divF或F，即PQRdivFFxyz。3.2散度的计算式散度在直角坐标系中的表达式为0limySxzVFdSFFFdivFVxyz3.1梯度、散度与旋度的应用3.1.1梯度的应用1、流形上的梯度一个黎曼流形M上的对于任意可微函数，f的梯度是一个向量场使得对于每个向量，(),fxf其中,代表M上的内积（度量），而f是在p点取任意点映射到在的方向导数的函数。换句话说，在某些坐标图中,()fp将成为：41():[()()]jjxjxjfpfpx函数的梯度和外微分相关，因为()()fpdf。3.1.2散度的应用奥氏公式的矢量形式：SAdSdivAdV由此可以看出通量与散度之间的一种关系：穿出封闭曲面S的通量，等于S所围的区域上的散度在上的三重积分。由上可以推论：若在矢量场A内某些点（或区域）上有0divA或divA不存在，而在其他的点上都有0divA，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。证明：（1）在矢量场A中任作两张包围R在内但互不相交的封闭曲面1S与2S，分别以1n，2n为其外向法矢量。则在1S与2S所包围的区域上，处处有0divA。因此，由奥氏公式有120SSAdSdivAdV则有120SSAdS其中nA为矢量A在的边界曲面（即由1S与2S所组成的封闭曲面）的外向法矢n的方向上的投影。注意到在1S上n与1n相同，而在2S上n则与2n的指向相反，因此，由上式有12120nnSSAdSAdS移项即得51212nnSSAdSAdS（2）若所作的封闭曲面1S与2S相交，则在矢量场A中再作一张同时包含1S与2S在其内的封闭曲面3S，以3n表其外向法矢量，则3S分别与1S，2S都不相交，按（1）中证明的结果有1313nnSSAdSAdS，2323nnSSAdSAdS，所以亦有1212nnSSAdSAdS3.2梯度、散度与旋度的联系标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，而矢量场在空间的变化规律则通过场得散度和旋度来描述。矢量场散度和旋度反映了产生矢量场的两种不同性质的源，相应地，不同性质的源产生的矢量场也具有不同的性质。故此，我们引入它们之间的两个重要性质及联系应用。