关于等差数列各项三角函数值求和的探究

第1页共3页关于等差数列各项的同名三角函数值求和的探究陕西省西安中学陈昱坤【关键词】三角恒等式证明等差数列公差积化和差公式和差化积公式归纳演绎法【问题的提出】在学习三角恒等变形时，很多同学都做过这样的习题：54sin53sin52sin5sin？（答案为cot10）76sin73sin72sin7sin？(答案为21cot14）54cos53cos52cos5cos？这样的问题，每一次遇到总是摸不着头脑，颇有老虎吃天，无处下口之感。即便绞尽脑汁，算出了正确答案，但心中总是感觉像是瞎猫碰上死耗子。于是提出问题：⑴、这样的问题有什么共同的特点吗？⑵、解决这样的问题有一般的方法吗？【问题的解决】以76sin73sin72sin7sin？为例：㈠、观察这些问题的共同特点。通过观察，不难发现：这些式子都是一个等差数列各项的同名三角函数值的和。（上式是公差为7的等差数列各项的正弦值的和）㈡、联想。由于这些式子一般较长，联想到数列中求和的常用方法——列项相消法，是否可以采用它呢？关键是如何列项。又想到三角函数的积化和差公式[注]能使一项变为两项。但如何凑“积”？又如何使化出来的各项前后相消呢？㈢、尝试。仔细观察积化和差公式的特点，将原式乘以14sin(即公差7一半的正弦值)可达到消项目的。原式=14sin14sin)76sin73sin72sin7(sin=14sin14sin76sin14sin73sin14sin72sin14sin7sin=14sin)]1476cos()1476[cos(21)]1472cos()1472[cos(21)]147cos()147[cos(21第2页共3页=14sin)]1413cos1411(cos)145cos143(cos)143cos14[(cos21=14sin)1413cos14(cos21=14sin146sin2sin=14cot问题得到了解决。【问题的延伸】上面讨论了求76sin73sin72sin7sin？的方法。发现将原式乘以2sind（d为公差）是一种十分有效的方法。将上述问题推广到n,同样的方法，可得：nnnnnn2cot)1(sin3sin2sinsin更一般的，有：2sin2sin)21sin(])1(sin[sinsinddndndnd①等差数列的各项正弦值的和有上述结论，余弦值是否也有类似结论呢？答案是肯定的。将①中用2－α代替α，－d代替d，便可得到：2sin2sin)21cos(])1(cos[coscosddndndnd②令d=α，由①，得：2sin2sin21sinsin3sin2sinsinnnn③令d=α，由②，得：2sin2sin21coscos3cos2coscosnnn④令d=２α，由①，得：第3页共3页sinsin)12sin(5sin3sinsin2nn⑤令d=２α，由②，得：sincossin)12cos(5cos3coscosnnn⑥令d=α＝n，由②，得：0)1(cos3cos2coscosnnnnn⑦在③中，用２α代替α，得：sinsin)1sin(2sin6sin4sin2sinnnn⑧在④中，用２α代替α，得：sinsin)1cos(2cos6cos4cos2cosnnn⑨由⑧/⑤，得：nnnnsin1sin)12sin(5sin3sinsin2sin6sin4sin2sin……于是，一些更复杂的结论便应运而生。【思想方法的总结】问题解决后，回过头来，我们还应当总结一下用到的思想方法——归纳演绎法此问题提出的本身就是这一思想方法的体现：由零散的、不规则的问题探寻一般的方法。而问题的解决同样也体现者此思想方法：我们通过对一道“特殊”问题的研究，进而得出一般的结论。此即为“归纳”。问题的延伸则是通过对本质结论的不断变换，创造出许许多多形式更为奇妙的式子，此即为“演绎”。归纳便是由特殊总结到一般，演绎便是由一般衍生出一般。特殊问题往往“高度”不够，不能揭示问题的本质。因此，当遇到特殊的问题，尤其是多个具有一定相似性问题，我们便要想到“归纳”，归纳出它门的共性（本质特点），寻求一般的结论。这样一来，我们便能“更上一层楼”。一般的问题（常常表现为范围广、未知因素多等）又往往难于下手，这时将问题演绎出一些更特殊的问题以寻求突破口经常能起到“事半功倍”的效果，不失为一个妙法。【参考文献】《三角函数》沈虎跃浙江大学出版社注：三角函数积化和差公式)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21coscos)cos()cos(21sinsin