具有某些特性的函数(经典课件)

§4具有某些特性的函数教学内容：有界函数，单调函数，奇、偶函数与周期函数。教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语；深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇、偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。教学重点：函数的有界性、单调性。教学难点：周期函数周期的计算、验证。教学方法：讲授为主，结合学时自学。教学学时：2学时。引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数。其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地回顾一下。一、有界函数：１．有上界函数、有下界函数的定义：定义１设f为定义在Ｄ上的函数，若存在数()ML，使得对每一个xD有()(())fxMfxL，则称f为Ｄ上的有上（下）界函数，()ML称为f在Ｄ上的一个上（下）界。注：（１）f在Ｄ上有上（下）界，意味着值域()fD是一个有上（下）界的数集；（２）又若()ML为f在Ｄ上的一个上（下）界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f在Ｄ上的上（下）界。所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的。如：sinyx，１是其一个上界，下界为－１，则易见任何小于－１的数都可作为其下界；任何大于１的数都可作为其上界；（3）函数f在Ｄ上无上（下）界：对任一)(''RLRM，都存在Dx0，使得'0)(Mxf))(('0Lxf。2．有界函数定义：定义２设f为定义在Ｄ上的函数。若存在正数Ｍ，使得对每一个xD有|()|fxM，则称f为Ｄ上的有界函数。注：（１）几何意义：f为Ｄ上的有界函数，则f的图象完全落在yM和yM之间；（２）f在Ｄ上有界f在Ｄ上既有上界又有下界；例子：sin,cosyxyx；（3）函数f在Ｄ上无界：对任一0'M,都存在Dx0，使得'0)(Mxf。例１．证明：1()fxx为(0,1]上的无上界函数。证：对任何正数M，取(0,1]上的一点110Mx，则有MMxxf11)(00，故按上述定义，f为(0,1]上的无上界函数。例２．设,fg为Ｄ上的有界函数。证明：（1）inf()inf()inf()()xDxDxDfxgxfxgx；（2）sup()()sup()sup()xDxDxDfxgxfxgx.证：（1）对任何Dx有)()(infxfxfDx，)()(infxgxgDx)(infxfDx＋)()()(infxgxfxgDx上式表明，数)(infxfDx＋)(infxgDx是函数gf在D上的一个下界，从而inf()inf()inf()()xDxDxDfxgxfxgx（2）可类似于（1）证之。二、单调函数：1．单调函数的定义：定义３设f为定义在Ｄ上的函数，1212,,,xxDxx（１）若12()()fxfx，则称f为Ｄ上的增函数；若12()()fxfx，则称f为Ｄ上的严格增函数。（２）若12()()fxfx，则称f为Ｄ上的减函数；若12()()fxfx，则称f为Ｄ上的严格减函数。例３．证明：3yx在(,)上是严格增函数。证：),(,21xx，设21xx，则043)2()(21212123132xxxxxxx即3231xx，所以函数3xy在(,)上是严格增函数。例４．讨论函数[]yx在Ｒ上的单调性。解：),(,21xx，设21xx，显然有][][21xx.但此函数在Ｒ上不是严格增的，若取01x，5.02x，则有0][][21xx，所以函数[]yx在Ｒ上是增函数。例５．讨论函数2yx在Ｒ上的单调性。解：),(,21xx，设21xx，))((12122122xxxxxx可正可负，所以函数2yx在Ｒ上不是单调函数。但若在区间),0[]0,(＋与上分别讨论，有0021222122xxxx，所以在区间]0,(上函数2yx严格增，在区间),0[＋函数2yx严格减。注：（１）单调性与所讨论的区间有关，要会求出给定函数的单调区间；（２）严格单调函数的几何意义：严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点。这一特征保证了它必有反函数。2．反函数存在性：定理１。2设(),yfxxD为严格增（减）函数，则f必有反函数1f，且1f在其定义域()fD上也是严格增（减）函数。证明：设f在D上严格增.对任一)(Dfy，有Dx，使yxf)(，下面证明这样的x只能有一个.事实上，对于D内任一xx1，由f在D上的严格递增性，当xx1时yxf)(1，当xx1时yxf)(1，总之yxf)(1.这就说明，对每一个)(Dfy，都只存在唯一的一个Dx，使得yxf)(，从而函数f存在反函数)(),(1Dfyyfx.现证1f也是严格增的.任取2121),(,yyDfyy.设)(111yfx,)(212yfx,则)(11xfy，)(22xfy.由21yy及f的严格增性，显然有21xx，即)()(2111yfyf.所以反函数1f是严格增的。例6.讨论函数2yx在(,)上反函数的存在性；如果2yx在(,)上不存在反函数，在(,)的子区间上存在反函数否？解：函数2yx在),0[上是严格增的，有反函数),0[,xxy；2yx在]0,(上是严格减的，有反函数,xy]0,(x；但2yx在(,)上不是单调的，也不存在反函数。例7.证明：xya当1a时在Ｒ上严格增，当01a时在Ｒ上严格递减。证明：设1a.给定Rxx21,，21xx.由有理数的稠密性，可取到有理数21,rr，使2211xrrx，（参见§1例1），故有222111supsupxrxrrrrxrxaraaaraa＝为有理数为有理数，这就证明了xya当1a时在Ｒ上严格增。类似可证xya当01a时在Ｒ上严格递减。三、奇函数和偶函数：定义４.设Ｄ为对称于原点的数集，f为定义在Ｄ上的函数。若对每一个xD有（１）()()fxfx，则称f为Ｄ上的奇函数；（２）()()fxfx，则称f为Ｄ上的偶函数。注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此(),[0,1]fxxx没有必要讨论奇偶性。（3）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可。例8.xysin为R上的奇函数；xycos为R上的偶函数；xxycossin在R上既不是奇函数，也不是偶函数，因若取40x，等式)()(00xfxf与)()(00xfxf均不成立。四、周期函数：１．周期函数定义：设f为定义在数集Ｄ上的函数，若存在0，使得对一切xD有()()fxfx，则称f为周期函数，称为f的一个周期。２．几点说明：（1）若是f的周期，则()nnN也是f的周期，所以周期若存在，则不唯一。因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的“基本周期”，简称“周期”。（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期。例9.函数xyxycos,sin，Rx，周期为2；函数Rxxxxxf],[)(，周期为1；函数RxCCxf，为常数)()(，任何正数都是周期，但无基本周期；为无理数，为有理数，函数xxxDDirichlet01)(，任一有理数都是周期，任一无理数都不是周期，但无基本周期。