高等数学求导公式打印版

1I.基本函数的导数01.0C；02.1xx；03.sincosxx；04.cossinxx；05.2tansecxx；06.2cotcscxx；07.secsectanxxx；08.csccsccotxxx；09.lnxxaaa；10.xxee；11.1loglnaxxa；12.1lnxx；13.21arcsin1xx；14.21arccos1xx；15.21arctan1xx；16.21arccot1xx。II.和、差、积、商的导数01.uvuv；02.CuCu；03.uvuvuv；04.2(0)uuvuvvvv。III复合函数的导数若,yfuux，则dydydudxdudx或yxfux。-2-计算极限时常用的等价无穷小0limsinxxx0limtanxxx201lim1cos2xxx0lim1xxex0limln1xxx01lim11nxxxn两个重要极限:0sinlim1xxx1lim1xxex若lim0,limfxAgxB，则limgxBfxA罗尔定理：0Fx若fx在,ab上连续，在,ab内可导，且fafb，则存在一,ab，使0f。拉格朗日中值定理：若fx在,ab上连续，在,ab内可导，则存在一,ab，使得fbfafba。柯西中值定理：若fx、Fx在,ab上连续，在,ab内可导，且0Fx则存在一,ab，使得0xx，则fbfafFbFaF。罗必达法则：若（1）()()limlim0()xaxafxFx或或或，（2）fx及Fx在00xx（或xX）处存在，且0Fx，（3）()lim()xafxFx或存在（或），则()()limlim()()xaxafxfxFxFx或或。泰勒公式：200000001!2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxRxn其中：1101!nnnfRxxxn,0,xx。马克劳林公式：200001!2!!nnnffffxfxxxRxn其中：111!nnnfRxxn,0,x。-3-1.2311012!3!!1!nxxnxxxeexxnnx2.357211sin13!5!7!21!mmxxxxxxmx3.2462cos112!4!6!2!nnxxxxxxn4.2311111nxxxxxx5.2422111111nnxxxxx6.2341ln112341nnxxxxxxn11x驻点：导数为零的点拐点：121222fxfxxxf，则称fx在,ab上是凸的，121222fxfxxxf，则称fx在,ab上是凹的，若曲线在0x两旁改变凹凸性，则称00,xfx为曲线的拐点。凹凸性判断（充分条件）：设fx存在，若axb时0fx，则曲线是为凸的，若axb时0fx，则曲线是为凹的。设曲线方程yfx，fx具有二阶导数，则函数yfx在,xy的曲率K为：2/321yKy（工程中，若1y时，Ky）。基本积分公式：kdxkxC11xxdxC1lndxxCx21arctan1dxxCx21arcsin1dxxCx-4-cossinxdxxCsincosxdxxC；221sectancosdxxdxxCx221csccotsindxxdxxCxsectansecxxdxxCcsccotcscxxxCxxedxeClnxxaadxCashxdxchxCchxdxshxC*tanlncosdxxC*cotlnsinxdxxC*seclnsectanxdxxxC*csclncsccotxdxxxC*2211arctanxdxCxaaa*2211ln2xadxCxaaxa*22arcsindxxCaax*2222lndxxxaCxa*2222lndxxxaCxa基本积分方法1换元法：（1）设fu具有原函数Fu，而ux可导，则有：fxxdxfuduFxC；（2）设xt在区间,上单调可导，且0t，又设fxx具有原函数Ft，则有：1fxdxfttdtFtC。2分布积分法：udvuvvdu3.有理函数积分：①nAdxxa②2nMxNdxxPxq4.万能代换（三角函数的有理式的积分）：设tan2xu，则221dxduu，22sin1uxu，221cos1uxu。-5-222211231216nnnn。定积分中值定理：bafxdxfbaab。定理：如果函数fx在区间,ab上连续，则积分上限的函数xaxftdt在,ab上具有导数，并且它的导数是xadxftdtfxaxbdx定积分换元公式：,ab，bafxdxfttdt。2200sincosfxdxfxdx00sinsin2xfxdxfxdx定积分的分步积分：bbbaaaudvuvvdu201331,2422sin1342,253nnnnnnnIxdxnnnnn为正偶数为大于1的奇数弧长计算公式：①21basydx;②txtyt，22sttdt;③cossinxryr，22srrd。-6-向量代数定比分点公式：121212,,111xxyyzzxyz。数量积：cosabab，xxyyzzabababab。222222cosxxyyzzxyzxyzabababababaaabbb。向量积：xyzxyzijkabaaabbb。平面平面的一般方程：0AxByCzD（向量,,nABC为平面法向量）。平面点法式方程：0000AxxByyCzz。平面的截距式方程：1xyzabc（,,abc为平面在三个坐标轴上的截距）。两个平面的夹角：两个平面方程为：1平面：1110AxByCzD，2平面：2220AxByCzD，则两平面的夹角的余弦为：121212222222111222cosAABBCCABBABB。两平面平行的条件：11112222ABCDABCD。两平面垂直的条件：1212120AABBCC。点到平面的距离：平面：0AxByCzD，平面外一点：111,,Mxyz，则点M到平面的距离：111222AxByCzDdABC。-7-空间直线两个平面的交线：11122200AxByCzDAxByCzD。点向式方程：直线上的一点0000,,Mxyz，直线的一个向量,,Smnp，则直线方程为：000xxyyzzmnp，参数方程为：000xxmtyyntzzpt两直线的夹角：0101011111:xxyyzzLmnp，0202022222:xxyyzzLmnp，则两直线的夹角余弦为：121212222222111222cosmmnnppmnpmnp。两直线平行：111222mnpmnp，两直线垂直：1212120mmnnpp，两直线共面（平行或相交）：两直线：01010111110202022222::xxyyzzLmnpxxyyzzLmnp，共面的条件：2121211112220xxyyzzmnpmnp。直线与平面的夹角平面：:0AxByCzD，直线：000:xxyyzzLmnp①若直线与平面相交，夹角：222222sinAmBnCpABCmnp；②若直线与平面平行：0AmBnCp；③若直线与平面垂直：ABCmnp。多元函数微积分-8-1.方向导数：sinfffcoslxy（为x轴到方向l的转角）2.梯度：,,fffgradfxyzijkxyz3.二元函数的极值：,zfxy，00,0xfxy，00,0yfxy。令00,xxfxyA，00,xyfxyB，00,yyfxyC。①当20ACB时具有极值，且当0A时具有极大值，当0A具有极小值；②当20ACB时没有极值；③当20ACB时可能有极值，也可能没有极值，还需令作讨论。3.二重积分的计算2211,,,bxdyaxcyDfxyddxfxydydyfxydx,cos,sinDDfxydfrrrdrd2121cos,sincos,sincos,sinDfrrrdrdfrrrdrddfrrrdr4.曲面的面积计算：22221,,1xyDDzzAfxyfxyddxdyxy平面薄片的重心：,,,,,DDDDxxydyxydMMxyMMxydxyd平面薄片的转动惯量：22,,,xyDDIyxydIxxyd5.三重积分的计算：2211,,,,,,byxzxyayxzxyDfxyzdvdxdyfxyzdz-9-曲线积分和曲面积分1.对弧长的曲线积分：xttyt22,,Lfxydsfttttdt222,,,,fxyzdsfttttttdt2.对坐标的曲线积分：,xtyt22,,,,LPxydxQxydyPtttQtttdt