九年级圆与相似三角形专题复习

九年级圆中三角形相似复习专题1、黄金分割点：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果ACBCABAC，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中ABAC215≈0.618AB。2、黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点.作法：（1）过点B作BD⊥AB，使BD=0.5AB；（2）连结AD，在DA上截取DE=DB；（3）在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点。（4）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形3、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；4、性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。5、相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。相似比为k。6、判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似。(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；简述为：三边对应成比例，两三角形相似。7、直角三角形相似判定定理:（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。题型：圆与三角形相似问题。1、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q，若QP＝QO，则QAQC的值为()A.132B.32C.23D.232、如图，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，ABBD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM。3、如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB=BD，且PC=0．6，求四边形ABCD的周长。4、如图，在RtABC△中，斜边1230BCC，°，D为BC的中点，ABD△的外接圆O⊙与AC交于F点，过A作O⊙的切线AE交DF的延长线于E点；（1）求证：AEDE⊥；（2）计算：ACAF·的值。5、如图，在直角梯形ABCD中，ABCD∥，90B，AB=AD，∠BAD的平分线交BC于E，连接DE．（1）说明点D在△ABE的外接圆上；（2）若∠AED=∠CED，试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系，并说明理由。QOPDCBAAEFODBC6、如图，已知圆内接△ABC中，ABAC，D为弧BAC的中点，DE⊥AB于E；求证：BD2－AD2=AB×AC。7、如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面积？8、如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．(1)求证：FB=FC；(2)求证：FB2=FA·FD；(3)若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长。9、如图，已知P是⊙O直径AB延长线上的一点，直线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E；(1)求证：PA·PB=PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长。10、如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE．请你说明以下各式成立的理由：（1）∠CAD＝2∠DBE；（2）AD2－AB2＝BD·DC。11、如图所示，ABCD为☉O的内接四边形，E是BD上的一点，且有∠BAE=∠DAC；(1)求证：△ABC∽△AED；(2)求证：AB•DC+AD•BC=AC•BD。题型：动点问题。1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts；（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？2、如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。3、如图，在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G；(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度；(2)设PHx,GPy,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围)；(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长。EODCBAHMNGPOABxyFABCED4、如图，在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=xCE=y;(1)如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数解析式；(2)如果∠BAC的度数为a，∠DAE的度数为b，当a，b满足怎样的关系式时，(1)中y与x之间的函数解析式还成立？试说明理由。5、直线364yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，三角形OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标。6、ABC中，10ACAB，12BC，点D在边BC上，且4BD，以点D为顶点作BEDF，分别交边AB于点E，交射线CA于点F．（1）当6AE时，求AF的长；（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，求BE的长；（3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长。7、如图所示，有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为A、B，另一个顶点C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由。AEDCBxAOQPByOCBAABCDEOlA′8、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD点E(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝41AC，设AD的长为x，五边形BCDEF的面积为S；①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；②探索：是否存在这样的x，以A为圆心，以x43长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。9、如图所示,半经为1的半圆O上有两个动点A、B，若AB=1，判断∠AOB的大小是否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。四边形ABCD的面积的最大值。10、已知△ABC为直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB为直角，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上动点（与点B、C不重合）（1）如图10，当PQ∥AC，且Q为BC的中点，求线段CP的长。（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。ABCDO