几何图形中的函数问题模块第四讲定义域的求法与作用

源于名校，成就所托1全日制课程初三教案模块几何图形中的函数问题第四讲定义域的求法与作用教学内容概要：一般来说，通过研究几何中的动点与定点，把握变量之间的关系来列函数关系式是动态几何问题的重点与难点，而学生很少重视定义域问题。其实，从定义域范围入手，也是解决动态几何问题的方法之一，并且能保证解答的全面性。本讲从定义域入手，分别讨论了由动点运动范围产生的定义域、由几何知识产生的定义域以及它们的综合性内容产生的定义域等问题的解法。教学目标：1、掌握从动点运动范围入手求定义域的方法。2、掌握从几何知识本身入手求定义域的方法。3、掌握从动点运动范围和几何知识本身入手综合性地求定义域的方法。重难点：1、对每个动点运动范围分析的全面性，保证定义域范围不多也不少。2、如何利用几何知识来讨论定义域的取值范围。源于名校，成就所托2第一部分知识要点1、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（组），得出原函数的定义域；2、极端法根据条件动点运动范围，将动点取在范围两端，算出此时自变量的值，再根据题目条件，取这时自变量的值的中间或两端。3、值域法根据解析式中因变量的取值范围，通过求解不等式（组）求定义域。4、图形性质法从图形本身的定义或性质出发确定自变量的取值范围，如三角形的基本性质等。第二部分例题经典例1：如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为AB上的一个动点，（不与A、B重合），并作∠MPD=90°，PD交线段BC于点D。设BP=x，△BPM的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。ACBMPDACBMPACBMPDDPMBCA图1图2图3图4解：如图1至图4，当点P从点B运动到点A时，当1605x时，如图1所示，1364255yxx，当1655x时，如图2和图3所示，点D不在线段BC上运动，当510x时，如图4所示，1364255yxx，可见65yx，而自变量x的取值范围是1605x或510x。【点评】本题考查的是动点问题引起自变量范围发生变化的问题，例1中，因动点D在线段BC上运动，所以动点P在线段AB上的运动范围不能全部涉及，可通过画图发现问题。源于名校，成就所托3例2：如图5，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x，△ABC的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。NBAMCDCMABN图5图6解：如图6，∵MA=AC=1，MN=4，∴NB=BC=3—x，过点C作AB的垂线，垂足是D，由勾股定理得，43ADx，22264CDxxx，∴2264yxx，在△ABC中，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得1313xxxx，解得12x，∴自变量x的取值范围是12x；【点评】例2与例1在求定义域的方法上很不同，例1是借助动点运动范围，而例2是根据三角形边长定理列不等式组求解。例3：如图7，已知圆O中，点P是半圆AB上一动点，C是AB延长线上一点，PC=PA。（1）已知BC=OA，求证：PC是圆O的切线；（2）设AB=8，AP=x，当直线PC与圆O相交时，求x的取值范围。BCOPAMAPOCB图7图8解：（1）证明：联结OP、PB，∴OP=OB=BC，∴∠OPB=∠OBP，∠C=∠BPC，∵∠OPB+∠OBP+∠C+∠BPC=180°，∴∠OPB+∠BPC=90°，∴OP⊥PC，又∵点P在圆O上，∴PC为⊙O的切线；（2）如图8，设半圆AB的中点为M，联结AM、OM，在Rt△OAM中，24AM，∴824AP，由（1）知，当PC与圆O相切时，34AP，∴直线PC与圆O相交时，x的取值范围是3424x或834x。【点评】本题重点研究当直线PC与圆O相交时x的取值范围，解决这个问题，要从点P的运动范围和直线PC与圆O的位置关系两方面出发。通过例1到例3，我们发现考虑自变量的取值范围，主要从动点运动范围和图形本身的性质等综合考虑。源于名校，成就所托4例4：如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，，AB=8，BC=14，∠B=90º，∠C=45º，点E、F分别在边AB、CD上，EF//AD，点P与AD在直线EF的异侧，∠EPF=90º，PE=PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE=x，MN=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。DCMNPFBEA图9解：如图9，由题意知在Rt△BEM中，∴BE=BM=8—x，又∵2DFx，∴822CFx，在Rt△OFCN中，∵FN=FC，∴CN=16—2x，∴MN=BM+NC—BC=（8—x）+（16—2x）—14=10—3x，即y=10—3x；当点N与点B重合时，BE=EF=6+x，∴AB=AE+BE=6+x+x=8，解得x=1，当点N与点M、点P都重合时，28EPx，62EFxEP，解得103x，∴自变量x的取值范围是18x且103x；【点评】本题定义域受多个动点限制，包括点P、N、M等，因此要通过作图发现这三个动点的运动范围及变化规律，再利用三角比和相似比求解，解题过程相对麻烦。例5：如图10，在矩形ABCD中，对角线AC=10厘米，点B到AC的距离为4厘米，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过点E作ACEH交折线AD—DC于点H，过点F作ACFG交折线CD—DA于点G，连接HG。设HE、EF、FC、GH围成的图形面积为S，若点F的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围。BCFGEHADDAHEGFCBBCEHFGADDAGFHECB图10图11图12图13解：如图10，当点H在AD上，点G在DC上时，20t，∴AE=CF=t，EF=10—2t，在Rt△AEH中，EH=2t，在Rt△GFC中，2tFG，∴tttttHEFGEFS225252221021212；如图11，当点H在DC上，点G也在DC上时，52t，∴AE=CF=t，EF=10—2t，在Rt△CEH中，CE=10—t，tEH215，在Rt△GFC中，2tFG，源于名校，成就所托5∴25521522102121ttttHEFGEFS；如图12，当点H在DC上，点G也在DC上时，85t，∴AE=CF=t，EF=2t—10，在Rt△CEH中，CE=10—t，tEH215，在Rt△GFC中，2tFG，∴25521521022121ttttHEFGEFS；如图13，当点H在DC上，点G在DA上时，108t，∴AE=CF=t，EF=2t—10，在Rt△CEH中，CE=10—t，tEH215，在Rt△GFC中，AF=10—t，tFG220，∴1252752521522010221212tttttHEFGEFS；【点评】本题是双动点问题，由于两个动点同时运动，且运动范围不同，所以要分多种情况讨论。第三部分课堂练习1、如图14，已知△ABC为等边三角形，AB=6，点P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上。设BP=x，正方形DEFG的边长为y，写出y关于x的函数解析式及定义域。DECFGBPA图14解：在Rt△BPD中，∵BP=x，∴BD=2x，在Rt△EFC中，∵EF=y，∴33CEy，∴BC=BD+DE+EC=2x+y+33y=6，∴93333yx，当点G在线段AB上时，3DGBD，23yx，解得633x，当点P在AB中点时，点D与点E重合，无法构成正方形，∴自变量x的取值范围是6333x；源于名校，成就所托62、如图15，在△ABC中，AB=6，BC=4，点D在BC边的延长线上，∠ADC=∠BAC，点E在BA边的延长线上，∠E=∠DAC。设AC=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；EDCBA图15解：∵△ABC∽△DBA，∴32BABCDAACBDAB，∴xDA23，BD=9，∴CD=BD—BC=5；∵△CAD∽△AED，∴DCDADADE，∴2235xy，∴函数解析式为2209xy，根据两边之和大于第三边，两边之和小于第三边，定义域为102x；第四部分课后作业A卷1、已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=5，AB=DC=2。（1）如图1，若P为AD上一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）若P为AD上一点（不与A、D重合），满足ABPE，PE交直线BC于点E，交直线DC于Q，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式及函数定义域；EQABPDCCDPBA第1题图源于名校，成就所托72、在ABCRt中，4,5,900BCABACB，D是斜边AB上一点（不与点A、B重合），过点A作CDAE，垂足为E，AE交直线BC于点F。设yBFxAD,，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；BDFEAC第2题图3、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交CD延长线于点N。设BE=x，DN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域。CDHNFBEA第3题图B卷1、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5，点E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画圆E交线段DE于点F。设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。FCDEBA第1题图源于名校，成就所托82、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，AB=CD=4，BC=5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F。（1）如图1，若∠C的平分线交BE于点G，求BG的长；（2）如图2，若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的圆P与线段BC交于点Q，设BP=x，BQ=y，求y关于x的解析式，并写出定义域；（3）若点A在第（2）小题中的⊙P内而点E在⊙P外时，求BP的取值范围。QMNABPCEDFQDCPBAEEABGCDFDECGBHA图1图2第2题图3、已知∠ABC=90º，AB=2，BC=3，AD//BC，点P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQADPCAB，联结AP，当AD=1.5时，且点Q在线段AB上时，设BQ=x，APQPBCSyS，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。CPDBQA第3题图源于名校，成就所托9A卷答案1、解：（1）∵△ABP∽△DPC，∴ABAPDPDC，∴252APAP，∴AP=1或4；（2）当点Q在DC的延长线上时，由（1）得∵△ABP∽△DPQ，∴ABAPDPDQ，∴252xxy，∴2542xxy，∵0y，∴14x；当点Q在线段DC上时，同理252xxy，∴2542xxy，∴01x或45x；2、解：如图1所示，过点D作DG⊥BC于点G，当点F在线段BC上时，∵AD=x，∴BD=5—x，在Rt△BDG中，335DGx，445BGx，∴45CGx，∵Rt△ACF∽Rt△CGD，∴ACCFCGGD，∴3443355yxx，25454xyx，此时955x，如图2所示，当点F在线段CB的延长线上时，∵A