几何概型教学设计 (1)

贵州师范大学数学与计算机科学学院1贵州师范大学设计（论文）题目“几何概型”教学设计与研究专业数学与应用数学班级数学（1）班姓名臧尔辉学号120703010050指导教师姜文老师贵州师范大学数学与计算机科学学院2“几何概型”教学设计与研究摘要:几何概型从教学重点、难点，和生活中的例子相结合起来，让学生更很好的掌握好知识，锁具的例子在学生的能力范围内，并且新颖，从而能让学生很快的投入思考和学习。在情景引例中教学设计的目的明确，概念形成有条有理。关键词:几何概型教学设计课堂教学教学内容：人教版《数学必修3》第三章第3.3.1节几何概型。学情分析：这部分是新增加的内容，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的，随机模拟部分是本节的重点内容。几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性。几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个；它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。教材的地位与作用：概率的初步知识在初中已经介绍，在选修模块的系列2中还将继续学习概率的其他内容，因此，本章在高中阶段概率的学习中，起了承前启后的作用。本章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法；这对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有促进的作用。贵州师范大学数学与计算机科学学院3教学目标：知识与技能了解几何概型的意义，会运用几何概型的概率计算公式，会求简单的几何概型事件的概率。过程与方法:通过游戏、案例分析，学习运用几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别。情感、态度与价值观:通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。教学重点：几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。教学难点：将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量。教学过程：一、复习引入1、古典概型的两个基本特征是什么？2、如何计算古典概型的概率？在提出问题的同时,要引领学生回顾知识.二、创设情景，引入新课1、问题情境1．问题引入引例1北京奥运会圆满闭幕，某玩具厂商为推销其生产的福娃玩具，扩大知名度，特举办了一次有奖活动：顾客随意掷两颗骰子，如果点数之和大于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？贵州师范大学数学与计算机科学学院4设计意图：复习巩固古典概型的特点及其概率公式，为几何概型的引入做好铺垫.引例2厂商为了增强活动的趣味性，改变了活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1）转盘被等分成8个扇形区域.顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？设计意图：1．以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望；2．以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题；3．简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律.问题提出后，学生根据日常生活经验很容易回答：“由面积比计算出概率为1/4.”提问：为什么会想到用面积之比来解决问题的呢？这样做有什么理论依据吗？学生思考，回答：“上一节刚学习的古典概型的概率就是由事件所包含的基本事件数占试验的基本事件总数的比例来解决的，所以联想到用面积的比例来解决.”教师继续提问：这个问题是古典概型吗？通过提问，引导学生回顾古典概型的特点：有限性和等可能性.发现这个问题虽然貌似古典概型，但是由于这个问题中的基本事件应该是“指针指向的位置”，而不是“指针指向的区域”，所以有无限多种可能，不满足有限性这个特点，因此不是古典概型.也就是说，我们不能用古典概型的概率公式去解决这个问题，刚才我们的解答只是猜测.到这里，我们自然而然地需要一个理论依据去支持这个猜测，从而引入几何概型的概念.中黄心的概率有多大？2、学生活动（分组讨论）分析上述三个题目，回答问题：1)如图，甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜。求甲获胜的概率?●●●●●●贵州师范大学数学与计算机科学学院5显然，它无法用古典概型解答，虽然它发生的可能性是相同的，但试验可能的结果是无穷的。但在图（1）中，显然甲获胜的概率为1/2；以转盘（2）为游戏工具时，甲获胜的概率为3/5。事实上，甲获胜的概率与阴影所在扇形区域的圆弧的长度（面积）有关，而与阴影所在区域的位置无关。2)如图,记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的31,于是事件A发生的概率P(A)=31。3)如图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)=22122412.1241=0.01.设计目的：通过具体事例，让学生抽象出几何模型。通过与古典概型进行比较，找出本节课所要研究的模型——几何概型，弄清它与古典概型的不同之处，从而引出几何概型的概念、基本特点、概率计算公式，之后要加以说明，以便学生理解与记忆.帮助学生弄清其形式和本质，明确学习的目的。2．概念形成记引例2中的事件为“指针指向阴影区域”，通过刚才的分析，我们发现事件包含的基本事件有无数个，而试122cm贵州师范大学数学与计算机科学学院6验的基本事件总数也是无数个.如果我们仿照古典概型的概率公式，用事件包含的基本事件个数与试验的基本事件总数的比例来解决这个问题，那样就会出现“无数比无数”的情况，没有办法求解.因此，我们需要一个量，来度量事件和，使这个比例式可以操作，这个量就称为“几何度量”.这就得到了几何概型的概率公式，其中表示区域的几何度量，表示子区域的几何度量.引例2就可以选取面积做几何度量来解决.通过上面的分析，引导学生发现：几何概型与古典概型的区别在于它的试验结果不是有限个，但是它的试验结果在一个区域内均匀地分布，因此它满足无限性和等可能性的特征.其求解思路与古典概型相似，都属于“比例解法”.1、对以上三个试验做出分析⑴、以上三个试验共同点：①所有基本事件的个数都是无限多个；②每个基本事件发生的可能性都相等。⑵三个试验的概率是怎样求得的？简单的说所求概率就是它们的面积之比、体积之比和长度之比，具体的说，就是把基本事件空间理解为一个区域，不妨记为Ω，而事件A可以理解为它的一个子区域，而所求的概率就是用子区域A的几何度量（长度、面积、体积）比上区域Ω的几何度量。⑶我们把满足上述条件的试验称为几何概型，参照上述三个试验请给出几何概型的定义。2、几何概型的定义、计算公式与特征（1）定义：事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。（2）在几何概型中，事件Ａ的概率计算公式为AAP)(贵州师范大学数学与计算机科学学院7其中表示区域的几何度量，A表示区域A的几何度量。（3）特征：①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件发生的可能性都相等。3、古典概型和几何概型的比较古典概型几何概型所有基本事件的个数有限个无限个每个基本事件发生的可能性等可能等可能概率的计算公式4、怎样求几何概型的概率对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.⑴利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解；⑵把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω；⑶把随机事件A转化为与之对应的区域A；⑷利用几何概型概率公式计算。5、说明：⑴区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．⑵其中“几何度量”的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“几何度量”分别是长度，面积和体积．设计目的：通过对比、归纳将新的知识建构到旧的知识系统，完成知识的延伸.四、实际应用nmAP)(AAP)(贵州师范大学数学与计算机科学学院81、模型应用例1：在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.分析：草履虫在这２ml水样中的分布可以看做是随机的（符合几何概型），于是发现草履虫的概率等于取出水的体积与所有水的体积的比.解：取出2mL水，其中“含有草履虫”这一事件记为A，则所有水的体积取出水的体积)(AP=5002=0.004答：发现草履虫的概率是0.004.例2：取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的（符合几何概型），于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比.解：记“豆子落入圆内”为事件A，则22()44圆面积＝正方形面积aPAa答：豆子落入圆内的概率为4.变式训练1：在边长为2的正方形ABCD中，E、F、G、H分别是四边中点，将米粒随机撒在正方形中，若米粒落在下列3个图中阴影部分区域的概率分别是P1、P2、P3.则其大小关系是(P2P1=P3)ABCDFGEHABCDFGEHABCDFGEH贵州师范大学数学与计算机科学学院9例3：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。分析：他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，由于收音机每一小时报一次，可以认为此人打开收音机的时间正处于两次报时之间，即处于[0，60]的任意一点，于是概率等于等待时间段的长度与两个整点之间长度的比。解：记“等待的时间不多于10分钟”记为事件A，则P（A）=6010=61答：等待的时间不多于10分钟的概率为61.变式训练2：某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求某一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.解：设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记“等车时间少于3分钟”为事件A，则他到站的时刻只能为=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A)=53.设计目的：1）分别从三个测度——体积、面积、长度来体现几何概型的求解方式。2）经历将一些实际问题转化为几何概型的过程，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法。2、归纳总结怎样求几何概型的概率对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,贵州师范大学数学与计算机科学学院10找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解，具体分以下四个步骤:⑴利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解；⑵把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω；⑶把随机事件A转化为与之对应的区域A；⑷利用几何概型概率公式计算。设计目的：通过归纳总结，得出这类问题的解决方法，将感性思维上升为理性思维。3、当堂练习(1)(1)在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出现，记a∈(-1,2】为事件A，则P（A）=（C）A、1B、0C、1/2D、1/3P（A）=63]3,3[]2,1(的长度的长度=21(2)一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m,宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．解：事件A=“海豚嘴尖离岸边不超过2m”答：海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率是7523.（3）在1万平方千米的海域中有40平方千米的大