-数学与思维-之深思

241Vol.24,No.120152JOURNALOFMATHEMATICSEDUCATIONFeb.,20152014–10–20郑毓信（1944—），男，浙江镇海人，教授，博士生导师，国际数学教育大会（ICME-10）国际程序委员会委员，主要从事数学哲学、数学教育研究．“数学与思维”之深思郑毓信（南京大学哲学系，江苏南京210093）有效促进学生的思维应当成为判断数学课成功与否的主要标志，后者既是指“专业（数学）思维”的学习，也包括“常规思维”的改进．特别是，不仅应当帮助学生逐步学会“长时间的思考”，也应切实纠正“常规思维”的一些常见弊病．正因为此，就应从更为广泛的视角去认识数学思想和数学思想方法的普遍意义．数学与思维；数学教育；快思慢想G40-03A1004–9894201501–0001–05对于数学教育工作者、包括广大一线教师而言，“数学与思维”当然不是一个全新的论题，特别是，新一轮课程改革对于“三维目标”的提倡，更有效地促进了人们对于这一论题的关注；另外，如果进一步拓宽视野的话，又显然可以追溯到20世纪90年代在中国兴起的数学方法论研究，因为，数学思维也是后者的主要关注．尽管如此，对于“数学与思维”这一论题还是应当不断进行新的思考与研究，包括已有工作的认真总结与反思，以及进一步的理论学习，因为，就只有这样，才能不断深化自身在这一方面的认识，将相关工作切实做好．1从教育的角度看，这无疑是这方面最为基本的一个问题：为什么应当特别重视“数学与思维”这样一个论题？对于上述问题并可说存在多种不同的解答；但在研究者者看来，这又主要涉及到了数学教育的基本目标或主要价值，包括应当如何去判断一个数学教学活动的成功与否，也即究竟什么可以被看成好的数学教学的主要标志？为了清楚地说明问题，在此并可首先联系国际教育署（InternationalBureauofEducation）和国际教育学会（InternationalAcademyofEducation）2009年联合颁发的指导性文件《有效的数学教学》做出具体分析[1]．具体地说，尽管这一文件使用的是“有效的数学教学”、而不是“好的数学教学”这样一个词语，其主要内容也是关于“有效的数学教学”的10条标准；但这又是研究者在阅读这一著作时的主要印象，即是对于“理解”（under-standing）与“思维”（thinking）的突出强调．前者表明国际数学教育界何以会特别重视“有效的数学教学”，因为，“机械学习”正是西方各国数学教学的普遍性弊病．其次，对于“思维”的强调则又不仅因为这是实现“理解学习”的关键，而且也体现了关于数学教育目标的这样一个认识：数学教育应当致力于促进学生更积极地去进行思考．以下是这方面的进一步论据：正如人们普遍认识到的，教学方法与模式是教学研究的一个永恒主题，特别是，对于某些新的教学方法或模式的大力提倡更可被看成新一轮数学课程改革的一个明显特点，即如课改初期对于“情境设置”、“合作学习”、“自主探究”、“动手实践”等新的教学方法的积极倡导，以及近年来得到迅速推广的“先学后教”这样一种教学模式，等等．但是，无论教学方法或教学模式主要地又应被看成实现一定教育目标的手段或方法，从而，就不应脱离后者泛泛地去谈论教学方法或模式；恰恰相反，就只有联系数学教育目标去进行分析思考，才能更为深入地认识各种教学方法和模式的优点与局限性．例如，以下就是数学特级教师贲友林老师经由多年教学实践对“先学后教”优点的一个总结：“这可以让学生更有准备地学；让学生在深层互动中学；让学生在研究性练习中学习．”但是，正如作者在与贲友林老师的交谈中所提出的，这又应被看成“先学后教”的核心，即是有利于学生更为积极地进行思考，并能逐步学会想得更深、更细、更合理、更有效．因为，如果忽视了这样一点，无论是“更有准备地学”、还是“在深层互动中学”或是所谓的“研究性练习”，就都只是一句空话．再例如，显然也可从同一角度去理解，究竟什么是这一两年来得到迅速发展的“翻转课堂”的主要优点：“‘翻转课堂’将简单的记忆、理解、运用放在课下，而高层次的综合运用和创新则在课上发生．”又，“视频比导学单更生动形象；前置的微视频学习为课堂腾出了更多的时间和空间；有备而来让课堂互动走得更224深入更有效．”（关于“先学后教”和“翻转课堂”并可见文[2]）总之，这应当成为具体判断一堂数学课成功与否的一个主要标志，即其是否有效地促使学生更积极地去进行思考，并能逐步学会想得更深、更细、更合理、更有效！显然，这也十分清楚地表明了深入研究“数学与思维”这样一个论题的重要性．在此并应特别强调这一论题的现实意义：数学教学决不应唯一地强调动手，而应更加重视动脑，后者更可被看成新一轮课程改革给予教育工作者的一个重要启示或教训．（详见文[3]．应当提及的是，作为新一轮数学课程改革的必要总结与反思，研究者认为，除去各个具体的经验和教训以外，还应更为深入地去思考数学教育最为基本的一些道理，包括具体梳理出数学教育的各个关键词（概念）．后者正是研究者目前在从事的一项工作，而“思维”恰就是这些概念中最为重要的一个．）当然，“动手”与“动脑”的“对立”又只是数学教育中“强调思维”最为基本的一个涵义．对于后者在以下还将做出进一步的分析论述．最后，从教师专业成长的角度看，上述分析显然也已表明：相对于“实、活、新”这一传统的要求（周玉仁语）而言，在当前即应更加强调一个“深”字，也即应当针对具体的教学内容深入地去思考其内在的数学思想和数学思想方法，并应将如何能够通过自己的教学促进学生思维的发展看成搞好数学教学的关键．2鉴于在这方面已经有了多年的实践，作为必要的总结，自然也应认真地去思考：这些工作的成效如何？又应如何去促进这一方面的工作，特别是，相关的教学工作如何才能更加有的放矢，更加有效？为了解答前一个问题，不妨先思考这样两个问题（这方面的一些初步工作可见文[4]）：（1）应当如何去理解“数学思维”、“数学思想”、“数学思想方法”等词语的具体涵义，包括相互之间的联系与区别？毋庸讳言，无论是实验稿的“数学课程标准”、还是2011年版的“新课标”，在这方面都应说表现出了不够严谨的弊病，甚至可以说一定程度的混乱，而这当然是作为课程改革指导性文件所应避免的．（2）什么是基础教育各个学段最为重要的一些数学思想和数学思想方法？以下则是相关人士的具体评论：由于新课标“没有展开阐述‘数学的基本思想’有哪些内涵和外延，这就给研究者留下了讨论的空间，而且由于它过去并没有被充分讨论过，所以可能仁者见仁，知者见智，不同的学者可能会有不完全一样的说法”[5]．理论研究有多种不同的观点十分正常，但作为数学教育的指导性文件出现这样的问题显然也很不应该，因为，这种不确定性必然会在教学实践中造成一定的混乱，特别是，如果连教师本身都没有弄清教学中究竟应当突出哪些数学思想和数学思想方法，又如何能够期望通过他们的教学帮助学生学会数学地思维？综上可见，在这一方面的进展实在不能说很快，还有很长的路要走，因此必须更加努力，而决不能掉以轻心．那么，究竟又应如何去促进这方面的工作呢？在研究者看来，一个首要的任务就是弄清“促进学生思维发展”的具体涵义？因为，只有做到了这样一点，教学才能真正做到有的放矢，也才可能更加有效．从理论的角度看，在此应当说存在两个可能的方向：第一，立足数学思维（数学家思维方式）的研究，并以此作为学生思维发展的必要规范．显然，这也正是“帮助学生学会数学地思维”、以及数学方法论研究的基本立场．但是，这一做法显然也有一定的问题．首先，是否真有必要帮助每个学生学会数学地思维？这也就是指，数学思维是否真的具有超出数学的普遍意义？其次，数学思维是否也有一定的局限性？在此并应特别提及这样两个基本事实：（1）思维形式的多样性，如科学思维、文学思维、艺术思维、哲学思维等，各种思维形式并应说都有一定的合理性和局限性；（2）数学思维也有一定的局限性；在一些学者看来，更应清楚地看到“数学的恶”[6]．显然，这也为广大教育工作者更为深入地去开展研究提供了重要背景．第二，现实问题的分析，也即立足于常规思维的研究，并通过揭示其不足之处从而为这方面的具体工作指明努力方向，也即，教师如何能够通过数学教学帮助学生改进思维．上述主张显然与“大教育”的立场比较接近；但就国内的现实情况而言，这又是一个比较薄弱的环节．与此相对照，国际上近年来在这方面有一些十分重要的工作，从而就为积极开展新的研究提供了重要背景．应当指出的是，尽管后一方面的研究对于增强教学工作的针对性十分有益；但在充分肯定“改进常规思维”的重要性的同时，又应积极地去思考新的发展可能性，也即如何能够通过数学学习帮助学生形成一些新的思维方式．显然，这事实上也就十分清楚地表明了上述两个研究方向之间的辩证关系，这也就是指，在清楚地看到两者不同点的同时，又应高度重视它们的相互渗透与必要互补．例如，数学思维的研究即在很大程度上为人们更为深入地去理解“长时间的思考”提供了重要启示；另外，就思维的进一步发展而言，显然也不应单纯地从数学的角度去分析，而应更加重视各个数学思想与数学思想方法的普遍意义．13总之，就这方面的进一步工作而言，应当同时开展两个方面的研究与实践：常规思维的改进，与专业（数学）思维的学习，并应很好地处理两者之间的辩证关系．这也正是数学教育中“强调思维”的第二层涵义．相信读者至此也已对以下问题有了自己的看法：数学教育究竟应当提倡“帮助学生学会数学地思维”还是“通过数学学会思维”？特殊地，这也正是作者何以采用“数学与思维”这样一个标题的直接原因．以下两节就将分别对所说的两个方向上的研究做出更为具体的论述．3从数学教育的角度看，这或许就可被看成“改进常规思维”最为直接的一个涵义，即是逐步学会“长时间的思考”．由以下论述即可初步地认识数学教育中明确提出这样一个主张的重要性及其现实意义．“数学是自己思考的产物，首先要能够自己思考起来，用自己的见解与别人的见解进行交谈，会有很好的效果，但是思考数学问题需要很长时间，我不知道中小学数学课堂，是否能够提供很多的思考时间．”[7]“思考问题的态度有两种：从专业角度看一种是花费较短时间的即时思考型；一种是较长时间的长期思考型．所谓的思考能人，大概就是指能够根据思考的对象自由自在分别使用这两种类型的思考态度的人．但是，在现在的……教育环境不是一个充分培养长期思考型的环境……没有长期思考型训练的人，是不会深刻思考问题的……无论怎样训练即兴性思考，也不会掌握前面谈过的智慧深度．”[8]另外，相信大多数读者依据自身的经历也会同意中国著名数学家姜伯驹先生在回答“什么是数学对自己最重要的影响”时给出的如下解答：数学使我学会长时间的思考，而不是忽忙地去做出解答．（教育频道，2011年5月2日）除去对于“长时间的思考”的积极提倡以外，在此还应提及另一相关的研究：“即兴性思考（快思）”的特点与局限性．这也正是国际上近年来在思维研究上所取得的一个重要成果．具体地说，这正是2002年诺贝尔经济学奖得主康纳曼（D.Kahneman）的一部名著：《快思慢想》[9]，而其主要特点就是集中于“常规思维”的研究，包括其特点、作用与局限性等．应当指明的是，康纳曼所说的“常规思维”事实上也就是指一般所谓的“快思”，因为，在他看来，这正是人类思维的一个重要特点，即是“快思”（称为“系统一”）占据主导的地位，从而就可被看成“常规思维”的基本形式．另外，在明确肯定“快思”对于人类认识活动重要作用的同时，康纳曼所关注的又主要是这样一个事实：“常规思维”在现实中常常会导致一些系统性的错误，以下则是他在这方面的一个主要研究结论：这种错误存在一定的心理机制，即“捷径与偏见”（heuristicsandbiases）．所谓“捷径”，在此是指人们在面对不确定的情况时头脑中常常会自动和迅速地出现某个比较简单的想法，尽管用之未必可以有效地解决所面对的问题，但主体却又往往会对此充满自信．“这些发生得非常快，而且全部同时发生，得到一个自我强化的认知、情绪和生理反应形态，这个反应形态是多样的和整合的