冲击应力和变形的计算

材料力学第12章动荷载材料力学§12-1概述§12-2构件作匀加速直线运动或匀速转动时的应力计算§12-3冲击时应力和变形的计算§12-4提高构件抗冲击能力的措施§12-5冲击韧度本章主要内容材料力学材料力学机械实例材料力学材料力学机械实例材料力学机械实例材料力学机械实例材料力学机械实例材料力学机械实例材料力学§12-1概述一、基本概念：1.静载荷:从零开始缓慢地增加到最终数值，然后不再变化的载荷。2.动载荷:载荷明显的随时间而改变，或者构件的速度发生显著的变化，均属于动载荷。3.动应力:构件中因动载荷而引起的应力。从上面的定义中：我们可以看出：在以前各章中我们所讲述的都是构件在静载荷作用下的刚度和强度的计算，在这一章和下一章中我们将讨论构件在动载荷作用下的强度和刚度的计算，在讲述这种问题之前，先让我们看看动载荷作用情况下，材料与虎克定律的关系。材料力学二、动载作用下，材料与虎克定律的关系：实验表明:在静载荷下服从虎克定律的材料，只要动应力不超过比例极限，在动载荷下虎克定律仍然有效,且弹性模量与静载荷下的数值相同。三、动应力计算的三种类型：1.构件作匀加速直线运动或匀速运动2.振动3.冲击以上三部分中，振动属于选学内容，除机制专业和工民建专业外，其他专业均可不讲，让学生课后自学。材料力学§12-2构件作匀加速直线运动或匀速转动时的应力计算一、起重机匀加速吊杆问题（或：杆件匀加速运动问题）LXmna材料力学原始数据：杆件的长度：L横截面面积：A材料的比重：加速度：a解：采用动静法（理论力学中的达朗伯原理）1.受力分析：如图所示，在距下端为x的横截面mn处将杆件分成两部分，并研究截面以下的部分。作用其上的重力集度为：jqA截面m-n上的轴力为：Nd材料力学作用其上的惯性力的集度为：dAqag——沿轴线均匀分布且方向与加速度a相反。2.平衡条件：0011djddjdddxNqqxaNqqxAxgNaxAg由(a)材料力学（因杆件为轴向拉伸，故横截面上的应力是均匀分布的）当a=0时，xj——静应力故：gajd1令：gaKd1jadK(b)式中：aK——为动荷系数（上面这种求解动应力的方法，我们就称为动静法）材料力学3.讨论：从(a)式中可看出：当X=L时，得：maxmax1djalKag——最大静应力maxj故而：其强度条件应为：maxmaxdajK——材料在静载作用下的许用应力。4.总结：现在我们大家回顾一下，所谓的动静法就是在作用于构件的原力系中加入惯性力系，然后按静力平衡处理，即可解决动应力的计算问题。材料力学二、圆环在匀角速旋转时的动应力计算问题（动静法）ddqdNdNwDt原始数据：环的平均直径D环的厚度t；环的比重；环的匀角速度w；环的横截面积A材料力学1.受力分析：沿圆环直径将它分成两部分，研究其上半部分；由已知条件可知,环内各点的向心加速度：222nDar沿环轴线均匀分布的惯性力集度为：22dnAADqaggna方向与相反。材料力学2.平衡条件：由：022222202sin2244adddaaaDyNqdqDqDADNgNDvAgg(12-1)式中：2Dv——圆环轴线上的点的线速度讨论：1．d即：gvd2(12-2)2．由(12-1)和(12-2)可看出：环内应力仅与和v有关，而与横截面面积A无关。材料力学3．保证强度的措施：限制圆环的转速。增加横截面面积A并不能改善圆环的强度。课后看书注意：书中（指刘鸿文）的两个例题，12-1题是一个动载荷作用下的扭转问题，因此所要求的动应力是剪应力，而不是拉压应力，与我们上面分析的情况不同，但是其解决的方法都是一样的，用的都是动静法，并且在这个例题中用了一些高中物理中所学过的基本公式，希望大家注意。在12-2题中，受力杆是一个变截面杆，它的处理方法同我们过去对待静载荷用过的方法完全一样，即先微分后积分的方法。材料力学例12—1：图示均质杆AB，长为l，重量为Q，以等角速度ω绕铅垂轴在水平面内旋转，求AB杆内的最大轴力，并指明其作用位置。lldx22222)(xlglQQgldxFlxN解：材料力学glQlglQxFFxNN22)(2220max截面杆的根部作用在AABFNmax材料力学§12-3冲击时应力和变形的计算一、基本概念：冲击：物体在非常短暂的时间内，速度发生很大变化的现象，我们就称为冲击和撞击。如：锻造时，锻锤与锻件接触的非常短暂的时间内，速度发生很大的变化，以重锤打桩，用铆钉枪进行铆接，高速转动的飞轮或砂轮突然刹车等，都是冲击问题。我们可以思考一下：冲击物的速度在很短的时间内发生了很大的变化，甚至降低为零，表示冲击物获得了很大的负值加速度。因此，在冲击物和受冲构件之间必然有很大的作用力和反作用力，故而在受冲构件中将引起很大的应力和变形，我们下面开始对这种应力和变形进行计算。材料力学二、冲击应力和变形的计算：由冲击的定义我们可以知道，冲击的时间非常短促，而且不易精确测出。所以加速度的大小很难确定，故而惯性力也就难以求出，因而也就不可能进行受力分析，即，也就不可能使用动静法。在实际工作中，我们一般采用不需考虑中间过程，并且偏于安全的能量法。以弹簧为例来进行冲击应力和变形的计算：原始数据：物体的重量Q物距簧的高度h弹簧的变形a冲击载荷dP材料力学解：1.假设：假设冲击物体为刚体，受冲构件的质量可以省略。在冲击物一经与受冲构件接触，就相互附着成为一个自由度的运动系统。2.由机械能守恒定律可知：dUVT(a)式中：T为冲击物体在冲击过程中减少的动能V为冲击物体在冲击过程中减少的势能dU为冲击构件的变形能(2)由于冲击物体的初速度和最终速度都等于零，所以没有动能变化。(1)由上图可见：dhQV(b)材料力学T=0(c)(3)(4)dU应等于冲击载荷dP冲击过程中在冲击过程中所做的功。由于dP及d在材料服从虎克定律的条件下，都是从零开始增加到最终数值的，dP及d的关系仍然是线性的。故dP所做的功W：dddddPUPW2121(d)将(b)(c)(d)代入(a)式，得：dddPhQ21(e)材料力学由于：在线弹性范围内，变形，应力和载荷成正比，故有：dddddjjjddjjPPQQ或代入(e)式得：222122202211ddjdjdjdjjjjjQhQhhh材料力学略去负值，得：211djjh(g)令：jjddhK211——冲击动荷系数代入(f)、(g)式得jddddjddKQKPK(h)讨论：（1）由（h）式可见：只要求出dK和静应力，即可求出冲击时的载荷，变形，应力。并乘上静载荷，静变形材料力学（2）突然作用于弹性体上的载荷，相当于h=0的特殊情况，由（12-6）可看出：故在突加载荷作用下应力与变形皆为静载荷作用下的两倍。（3）在实际问题中，一个受冲的梁或受冲的其他弹性构件，都可看成是一个弹簧，只是各种情况的弹簧常数不同而已。材料力学§12-4提高构件抗冲击能力的措施一、静变形j同dP和d的关系：由上两节的分析我们可以得到受冲击构件的强度条件如下：max211djjh从上式可看出：我们只要增大了j就可降低maxd原因：静位移的增大，表示构件较为柔软，因而能更多的吸收冲击物的能量。注意：在增加静变形的同时，应尽可能的避免增加静应力j，否则，降低了动荷系数dK，却增大了，结j果动应力未必就会降低。材料力学二、受冲击构件的尺寸同冲击载荷的关系：如图：设冲击物的重量为Q，速度为v，由于冲击后冲击物的速度为零，故其变化为：212QTvg受冲构件的变形能为：2122ddddPlUPEAALvQ材料力学根据机械能守恒定律：222122dddPlQEQvTUvgEAgAl越大，结论：由上式可见，d与杆件的体积Al有关，Ald越小，反之越大。例如：把气缸盖螺栓由短螺栓变成长螺栓就是这个原故。注意：上面的论述是对等截面杆而言的，不能用于变截面杆的情况。材料力学三、变截面杆同等截面杆的比较：如图所示：一变截面杆，一等截面杆，同样受到重量为Q，速度为v的重物的冲击，试比较它们的动应力。LvQA1A1sA2A2LvQ根据机械能守恒定律，可求得两杆的冲击载荷分别为：2adajvPQg2bdbjvPQg材料力学于是两杆的冲击应力分别为：2max22aaddajPQvAAg(a)2max22bbddbjPQvAAg(b)abjj∵maxmaxabdd∴讨论：（1）由上论述可看出：尽管（a）的体积大于（b）的体积，但。bdadmaxmax材料力学故而，对等截面杆得出的结论不能用于变截面杆。（2）从(a)式可看出：a杆削弱部分长度s越小，静变形aj越小，相应的动应力的数值就越大，也较小。（3）由弹性模量较低的材料制成的杆件，其静变形较大，故用E较小的材料代替E较大的材料，也有利于降低冲击应力。例题12—2：直径d=100mm的圆轴，一端有重量P=0.6kN、直径D=400mm的飞轮，以均匀转速n=1000r/min旋转（图a)。现因在轴的另一端施加了掣动的外力偶矩Me，而在t=0.01s内停车。若轴的质量与飞轮相比很小而可以略去不计，试求轴内最大动切应力d,max。材料力学解：飞轮的惯性力矩为0dIM(1)在掣动时，若为匀减速旋转，则，tntnt30602代入式(1)，得)30π(0dtnIM(2)沿与相反的转向，将Md作用于轴上（图b），得到一个假想的平衡力偶系。可得轴横截面上的扭矩Td为A(b)naBMd(a)And材料力学tnIMT30π0dd(3)轴的最大动切应力d,max为:tdnItdnIWT3030pdmaxd,1583016ππ(4)飞轮的转动惯量22220smN223.1)m/s81.9(8)m4.0)(N600(8gPDI将已知数据代入式（4），得MPa2.65)s01.0()m1.0(15)r/min1000)(smN223.1(81583230maxd,tdnI材料力学例12—3：一长度l=12m的16号工字钢，用横截面面积为A=108mm2的钢索起吊，如图a所示，并以等加速度a=10m/s2上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的动应力，以及工字钢在危险点的动应力d,max欲使工字钢中的d,max减至最小，吊索位置应如何安置？Aa4mB2m2mCyz4m(a)解：将集度为qd=Aa的惯性力加在工字钢上，使工字钢上的起吊力与其重量和惯性力假想地组成平衡力系。若工字钢单位长度的重量记为qst，则惯性力集度为：gaqqstd材料力学于是，工字钢上总的均布力集度为)1(stdstgaqqqq引入动荷因数gaK1d则stdqKq由对称关系可知，两吊索的轴力（参见图b）相等，其值可由平衡方程，0yF02stNlqF求得lqFstN21吊索的静应力为AlqAF2stN故得吊索的动应力为AlqgaK2)1(stdd(b)ABFNNFqst材料力学由型钢表查得qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g及已知数据代入上式，即得：MPa6.22101082)m12)(N/m81.95.20()m/s81.9m/s101(622d同理，工字钢危险截面上危险点处的动应力zWMgaKmaxmaxdmaxd,)1