南京师范大学泰州学院本科毕业论文南京师范大学泰州学院毕业论文(设计)(一六届)题目:伴随矩阵的性质及其应用院(系、部):数学科学与应用学院专业:数学与应用数学姓名:吉宗银学号08120412指导教师:王志华南京师范大学泰州学院教务处制南京师范大学泰州学院本科毕业论文1摘要:在高等代数中,伴随矩阵作为一种特殊的矩阵有很多特殊的性质,从某种意义上来说,它和正定矩阵、正交矩阵一样,不仅在理论很有研究价值而且在实践上也有广泛的应用.本文主要对伴随矩阵以及一些特殊矩阵(比如上三角矩阵、对称矩阵等)的伴随矩阵所具备的若干性质进行了系统的研究,利用这些性质简化了一些伴随矩阵的计算.关键词:伴随矩阵;若当标准型;可逆矩阵Abstract:Asaspecialmatrix,adjointmatrixhasmanyspecialpropertiesinlinearalgebra.Inasense,itislikeapositivedefinitematrixandorthogonalmatrix,andnotonlyhasgreatresearchvalueintheorybutalsohaswideapplicationinpractice.Inthisarticlewefocusonvariouspropertiesofadjointmatrices,includingthepropertiesofadjointmatricesofsomespecialmatrices(theuppertriangularmatrices,symmetricmatrices,etc.),andusethesepropertiestocalculatetheadjointmatricesofsomematrices.Asweshallsee,thissimplifiesthecalculationandavoidalargeamountofcomplicatedcalculations.Keywords:adjointmatrix;Jordanstandardform;invertiblematrix南京师范大学泰州学院本科毕业论文2目录1绪论...................................................31.1研究目的.....................................................31.2研究意义.....................................................31.3国内外研究现状...............................................32基础知识...............................................42.1伴随矩阵的定义...............................................42.2伴随矩阵的基本性质及运算性质.................................42.2.1伴随矩阵基本性质及证明.................................42.2.2伴随矩阵运算性质及证明.................................52.3某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质............................112.3.1对称矩阵..............................................112.3.2上(下)三角矩阵......................................112.2.3正定和半正定矩阵......................................122.2.4正交矩阵..............................................12谢辞...................................................14参考文献................................................15南京师范大学泰州学院本科毕业论文31绪论1.1研究目的利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关计算问题及拓宽它在各领域中的应用。1.2研究意义对伴随矩阵的性质及其应用的探讨,不仅有利于教师的教学,还有利于学生的学习,以便于我们更加得心应手的利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关问题。且在伴随矩阵在线性代数中是作为求解逆矩阵的身份出现的,伴随矩阵是非常重要的概念,在矩阵理论中占有非常重要的地位。前人对伴随矩阵的各种性质研究很多,本文将在此基础上总结已有的一些伴随矩阵的性质与结果,并应用这些方法求解一些例子。通过本文的写作,本人将对伴随矩阵若干性质有深入的把握,对伴随矩阵在各种解题中的应用有深入了解。1.3国内外研究现状现如今对于伴随矩阵的研究主要围绕的是伴随矩阵的基本性质,主要有伴随矩阵的运算性质﹑伴随矩阵的继承性质以及m重伴随矩阵的性质等。杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质;王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上,探讨了伴随矩阵的运算性质,特别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质,并提出了自伴随矩阵的定义及其性质,归纳了伴随矩阵较强的继承性;郑茂玉也提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系,探讨了伴随矩阵的性质,并且将伴随矩阵的性质推广到了m重;徐淳宁也探究了m重伴随矩阵的定义及其性质,得出了一些有意义的结果,使伴随矩阵的内涵更加丰富。上述结论都是在A为方阵的前提下提出来的,对于A不为方阵的情况也有一些结果。本文将在这些研究基础上,总结伴随矩阵的一些性质,并应用这些结果求解一些具体例子。南京师范大学泰州学院本科毕业论文42基础知识2.1伴随矩阵的定义定义1.设ijA是矩阵A=111212122212annnnnnaaaaaaaa中元素aij的代数余子式,则矩阵A=112111222n212AAAAAAAAAnnnnn称为A的伴随矩阵。定义2.设A为n阶方阵,如果有矩阵B满足AB=BA=E,则B就称为A的逆矩阵,记为B=A-1。注意:只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。2.2伴随矩阵的基本性质及运算性质2.2.1伴随矩阵基本性质及证明基本性质:AA=AA=AE,当A可逆时,有-1A*A=|A|,即-1A=AA.证明:由行列式按一行(列)展开的公式1Anikjkka=0iAjij,,,1aAnkjkjk=0iA,jij,(i,j=1,2,n),可得AA=AA=AE.注:(1)A可逆时,-1A=AA;(2)有时用伴随矩阵来处理有关代数余子式问题。例1若111A=011001,求-1A.南京师范大学泰州学院本科毕业论文5解:因为111A=011001,所以1-10A=01-1001.A=1,由性质得-1A*A=|A|=1-1001-1001.例2设111A=022003,-1A是-1A的伴随矩阵则求-1A.解:由AA=AA=AE,因为-1-1AA=AE,所以有-1-1AA=AA=A.又本题A=6,所以-1111666111111A=022=06330031002.本题是求A的逆矩阵的伴随矩阵,若用伴随矩阵的定义求解则太复杂.例3已知A为一三阶可逆矩阵,它的伴随矩阵为A,且1|A|4,求12A)3A(.解:111113311113|2(A)3A||A3|A|A||AA|22411111|A||A|.444|A|162.2.2伴随矩阵运算性质及证明性质1TTA=A.证明:因TijjiA=aA=Aij,则TTjiijA=A=A,而TTjijiijA=aA=A,故TTA=A.性质2:A可逆,则*11*A)(A)(=1AA.证明:因A可逆时,*A=1|A|A,则*1*11A(A)|A|A(|A|A)E,故南京师范大学泰州学院本科毕业论文6*11*A)(A)(.又*1111(A)(|A|A)A|A|,即*11*1(A)(A)A|A|.例已知A为一三阶矩阵,且142A013001,求1A)(.解:经计算可得|A|1,所以1142AA)A013|A|001(.性质3:n阶方阵n2,则A=0r(A)11(A)1n(A)nrnrn.证明:①当ABBA=时,则A可逆.由性质1知A可逆,则rA=n.②当rA=n-1时,nAA=AI=0.一方面由AB=0时,rA+rBn可知,rA1;另一方面由于rAn-1,则A至少有一个n-1阶式子不为0,rA1.故有rA=1③当iJ时,A的n1阶子式全为0,此时有rA=1n.例设nn2阶方阵A,若秩A=n2时,则秩A=?解:因为秩A=n2,由以上性质的A0,故结果为0.性质4:A=n1An1.证明A可逆时,由性质1知nn-1-1A=AA=A,nn-1-1A=AA=A,A不可逆时,rAn-1,A=0.当n2时,由性质3知,若rAn-1,此时rA=0,自然有n-1A=A0.若rA=n-1,rA=1n-1,此时n-1A=A0.综上所述,性质4成立.例已知A和B都是n阶方程,A=4,B=-2,则-14AB=?解:-14AB=n-14AB=n1n14AB=n14314422nn.南京师范大学泰州学院本科毕业论文7性质5.*1(KA)KAn证明:*1111(KA)|KA|(KA)K|A|KAKAnn.例设A为一个3阶矩阵,且已知321A112211,求1A4.解:因为112131122232132333AAA135AAAA555AAA315,所以2135161616135111555AA5554416161616315315161616.性质6n2A=0=AA.证明:若A为二阶矩阵,设abA=cd,则d-bA=-ca,n2A=A=AA成立.下证A的阶数n2时的情况:当A0时,由性质1及性质6知n1n2-1-1A=AA=AAA=AA.当A=0时,知rAn-1,若rA=n-1,则rA=1n-1,由性质4知rA=0,从而n2A=0=AA.若rAn-1,则rA=0.即A=0,故n2A=0=AA.综上所述,性质6成立.例已知A为n阶可逆矩阵,且A=3,化简-1A-A.解:因为AA=AA=AE,所以-11A=AA,所以-111A-AA-A=-1A=AA南京师范大学泰州学院本科毕业论文8n-1n-1n-1n-21-A1-A-2A=AA=AAA3.性质7.ABBA=.证明:当A