低速空气动力学理论与计算第五章

低速空气动力学理论与计算第五章：黏性流寄出和低速边界层1本章主要内容一．描述黏性流动的NS方程二．流动相似率和相似性参数三．边界层的概念和方程边界层分离四．湍流基本知识2引言本章考虑流体粘性的规律和研究方法研究对象是低速不可压缩黏性流体研究对象的选择研究方法数学工具基本结论3Navier—Stokes方程NS方程是描述黏性流体运动的基本方程其特点是高度的非线性，关于NS方程几乎没有什么明确的数学理论和有效的研究方法CFD方法是目前最为有效的NS方程求解办法4Navier—Stokes方程应力的记法应力分量之间的关系（直角坐标）粘性应力和速度梯度之间的关系运动方程和边界条件5应力的记法在无粘流体中，任意划一小块平面，作用在平面上的流体只有法向力，没有切向力在黏性流体中，还包括切向力6可以看作一个总合应力的三个投影切应力分量之间的关系九个应力分量并不独立（六个切向应力分量两两相等），只有六个独立的应力分量，三个法向，三个切向7粘性应力和速度梯度之间的关系微团运动学（角变形率和线变形率）从产生应力的角度看，固体和流体的不同在于：固体有变形就有应力，流体需要有变形率（单位时间的变形）存在才有应力流体的应力与流体微团的角变形率和线变形率直接相关（用速度的各导数以及粘性系数来表达粘性应力）8粘性应力和速度梯度之间的关系流体的应力：法应力和切应力，随受力面的方位而定，在流体内部一个指定点上总可以找到一个坐标系，在此坐标系上三个坐标平面上作用的应力只有法应力，没有切应力（主应力）三维的证明是非常麻烦的，我们在二维中说明方法，很容易推广到三维9粘性应力和速度梯度之间的关系存在主应力的证明这个证明很容易推广到三维10粘性应力和速度梯度之间的关系坐标转动时速度及其导数的变换规律：任意坐标系上的线变形率和角变形率用主应力上的线变形率表达11粘性应力和速度梯度之间的关系散度与坐标系取法无关流场中P点的三个法应力之和是不变量，等于三个主应力之和在静止的流体中，法应力与坐标方位无关在运动的粘性流体中，三个法应力不一定相等，其和为常数-3p，p为该点平均压强12粘性应力和速度梯度之间的关系六个应力分量的主应力表达13粘性应力和速度梯度之间的关系需要一个假设才能得到应力与速度梯度之间的关系式：假设三个主应力与其平均值之差是主应力坐标系上三个线变形率的一次函数式中λ和μ是常数，二者不独立14粘性应力和速度梯度之间的关系法应力与速度梯度的关系：注意：散度不变量和线变形率的坐标变换15粘性应力和速度梯度之间的关系粘性应力与速度梯度的关系：注意：此处的μ就是流体的黏性系数；回忆第一章是一维的特例vy=016运动方程有了应力的速度导数表达式后可以写出粘性流体的运动方程（无论是否考虑流体的粘性，运动方程都是动量守恒方程）考虑粘性流体时，与Euler方程相比，多出切应力，共六个应力列入方程17运动方程Navier—Stokes方程：粘性流体满足的运动方程前面使用的假设（牛顿流体假设）是分子动力学基础的，没有不满足的反例18边界条件固体边界：无滑移条件流体边界（两种速度不同的流体相邻）：流体边界的两侧流速平行，应力大小相等方向相反19例子求解二维平行壁之间的粘性流动（二维壁面固定）20例子求解二维平行壁之间的粘性流动（二维壁面一个固定，另一个以均匀速度U向右运动）21流动相似率和相似性参数考虑粘性作用，符合什么条件两个流动相似？流场1和2流场参数见右，r是比例系数几何相似：外形成比例动力相似：写出流场2的运动方程，把流场2的各参数用流场1的参数表达22流动相似率和相似性参数流场2的运动方程（x方向）用流场1的参数表示23流动相似率和相似性参数方程的各不同类型的项都出来一个由各比例系数组成的数，如果这些数彼此相等，流场2的方程就变成流场1的方程，边界条件同理，流动就相似了流场相似要求上述式子中包含四个独立的等式24流动相似率和相似性参数第1，2部分相等第2，3部分相等第2，4部分相等第2，5部分相等25流动相似率和相似性参数四个等式规定了四个相似性参数（或称为四个相似性准则）：St：Strouhal数非定常判据Fr：Froude数惯性力与重力之比Ma：Mach数速度与声速之比Re：Reynolds数惯性力与黏性力之比在实验中这些参数同时满足几乎不可能，只能抓住主要矛盾，满足最重要的无量纲参数26边界层的概念和边界层方程边界层概念的引出理想流体模型无法求解阻力粘性流体方程过于复杂，无法求解，不能满足线性迭加出路：对流场区别对待，当Re很大时无粘区壁面附近惯性力与黏性力同等作用的区域—边界层研究边界层的意义27边界层方程定常NS方程（以二维为例）量阶分析28边界层方程边界层方程29边界层方程平板层流边界层的解30边界层厚度边界层厚度的讨论31平板边界层的厚度是随板的纵向长度增长的，且按照抛物线规律增长摩擦阻力系数局部摩擦阻力系数：单位面积的摩擦力除以来流动压头平板的摩擦应力局部摩擦阻力系数平板平均摩阻系数（单面）总摩擦阻力除以来流动压头再除以平板面积（二维板宽为1，Re用板长计）32位移厚度位移厚度层外主流被挤出去的距离例：平板的位移厚度33动量损失厚度动量损失厚度例：平板的动量损失厚度34VonKarman积分边界层方程尽管比NS方程简单很多，但仍旧难以直接求解卡门对边界层流动动量定理使用动量定理（控制面内流体在某个方向的动量总增加率等于作用在控制面上所有作用力在该方向的分力）得到一个积分关系式，具有较大的实用价值以二维定常问题为例35边界层流动分离在边界层内：顺压梯度∂p/∂x0使边界层的厚度随x增大而增厚的过程减缓；逆压梯度∂p/∂x0则使边界层增厚的过程加快分离问题：对于边界层方程，在壁面上此式左侧代表边界层内速度分布曲线的二阶导数，此值为0代表拐点，∂vx/∂y由负变正的地方36边界层流动分离在平板流中，U=常数，∂p/∂x=0，平板的速度分布曲线的拐点在y=0处；从y=0起，有一个很大的∂vx/∂y值，随着y增大，∂vx/∂y单调下降，直到边界层的外边界y=δ处，∂vx/∂y降为0。37边界层流动分离在绕曲面的流动中加速段∂U/∂x0，相应的∂p/∂x0，是顺压梯度，由上页方程看∂vx/∂y在壁面附近随着y上升而下降，从y=0起到y=δ一直下降，边界层内不会出现拐点。减速段∂U/∂x0，相应的∂p/∂x0，是逆压梯度，0。在壁面附近开始∂vx/∂y随着y增大而增大，到边界层外边界y=δ处，∂vx/∂y必然降为0，这样就可以知道在这种流动中∂vx/∂y后来必然改为下降，可知在边界层内部一个y处应该出现拐点。速度分布曲线有拐点是分离的必要条件38边界层流动分离分离点上速度分布的特点是边界层外边界速度分布曲线在y=0与y=δ之间某处必有一拐点拐点的存在不是分离的充分条件。顺压梯度或无压力梯度的边界层流动里不会发生分离；逆压梯度的边界层流动里可能发生分离。39边界层流动分离从物理角度分析逆压梯度产生分离的原因气流流到物体的前驻点以前也是减速过程，因为前驻点是个速度为0的点，气流在流场中必须由来流的值降到0。这个减速过程不是贴物面进行的，无损伤，不分离。如果前驻点起按照流线的形状加一块薄平板，则气流减速贴物面进行，发生分离。分离之后，边界层的理论就不适用了40