低速空气动力学理论与计算第四章.

低速空气动力学理论与计算第四章：低速平面位势流1本章主要内容一．平面不可压缩位势流的基本方程流函数二．简单的二维位势流基本的二维位势流基本位势流的迭加三．镜像法概述直壁的干扰地面效应圆壁的干扰洞壁干扰四．鳞片布源法五．保角变换法2引言本章开始低速空气动力学的核心内容研究对象是低速不可压缩理想流体假定来流有势求解求解速度位势满足的方程线性叠加原理保角变换研究对象的选择研究方法数学工具基本结论3平面不可压缩位势流的基本方程位势流是无旋流，在无旋条件下存在速度势。按照Kalvin定理，流动原来无旋，后来必然无旋。这个假设在流场大部分区域内满足，只是物面附近不成立，用此假设可以建立流场的初步解。平面流是二维流动，是真实情况的一个极大简化。4平面不可压缩位势流的基本方程流动的基本方程已经推导过了，对于平面流动只要令z方向导数全部为0即可考虑无旋条件存在位势函数5流函数平面不可压缩的连续方程这是微分式是全微分的必要和充分条件存在一个函数Ψ—流函数：6流函数Ψ=Const.的曲线是流线（极容易证明）一系列常数Const.对应一系列流线流线不能穿越（与位势函数一样，其绝对值没有意义，差值有意义）流函数可以代表流量7流函数Ψ是点的函数在同一流线上的Ψ值都相同等流量差的Ψ作一系列曲线，可以看出流速大小流线一般不相交，可以分叉8位势函数与流函数无旋条件，就有位势函数。对于平面流动总是成立的。将位势函数带入上式，有Φ必然遵守的方程：9位势函数与流函数流函数是根据不可压缩平面流的连续性方程导出的，而连续性方程总是成立，所以凡是平面流动必然存在流函数如果附加无旋条件：将前式带入无旋条件，得到Ψ满足的方程10位势函数与流函数不可压缩的平面无旋流必然同时存在位势函数和流函数，且这两个函数满足相同的微分方程—拉普拉斯方程拉普拉斯方程是线性方程，比起流动的基本方程（非线性）简单很多线性方程线性迭加原理要描述一个不可压缩平面流场，找到其中一个函数即可（找到一个，另一个自然得出），等位线和流线都可以画出来11位势函数与流函数等位线和流线正交沿流线有流线的斜率是沿等位线有或由此比较两式12位势函数与流函数说明：另外一种证明方法不论哪种证明方法，在速度为零处都不成立13例子求流场上的速度分布、压力分布；画流线和等位线14几种简单的基本二维流动将几种简单函数表示的位势流动，它们是最基本的流动，许多的流动可以用它们组合而成思想：线性迭加原理的应用15几种简单的基本二维流动：直匀流速度不变，彼此相等的平行流动位势函数：流速：流线考虑平行于x轴的直匀流16几种简单的基本二维流动：点源描述：从流场某一点有一定流量向四面八方的流动（有正负—汇）把源放在坐标原点，使用极坐标，只有径向速度，没有角速度设半径为r处的流速是vr，源的总流量流速与半径成反比流函数：位势函数：积分速度特例：源不在坐标原点的情况17几种简单的基本二维流动：点源受扰点P（x，y）至源的距离为r，有18几种简单的基本二维流动：偶极子描述：等强度的一个源和一个汇，放在x轴上，源放在（-h，0），汇放在（0，0）处，从源出来的流量都进入汇应用迭加原理，按照上页公式，位势函数为：流函数：上述两个角度分别是流场点P与源和汇连线与正x轴的夹角19几种简单的基本二维流动：偶极子考虑当h0但Q增大，使Qh/2π=M保持不变的极限情况，此时的位势函数：这种极限情况并不是把有限强度的源和汇放在一起，彼此对消，什么也没有，而是h0，Q∞的一种极限情况—偶极子流等位线是圆心在x轴上的圆，且过原点20几种简单的基本二维流动：偶极子流函数可以从位势函数推导，也可以对非极限情况的流函数求极限，有流线也是一些圆，圆心都在y轴上，且过原点速度公式：21几种简单的基本二维流动：偶极子说明：偶极子是极限情况，它是有轴线方向的，原来的源和汇放在哪条直线上，那条直线就是轴线偶极子轴与x轴成α角偶极子位于其他点，轴线与x轴平行22几种简单的基本二维流动：点涡位于原点的一个点涡流动，图案很想点源，只是流线和等位线对调，流线是同心圆，等位线是过圆心的射线；流动只有角速度，没有径向速度位势函数和流函数是23几种简单的基本二维流动：点涡上述公式中的Г0是个常数，称为点涡强度速度：这个速度与离中心的距离r成反比。对此速度绕封闭圆圈做环量计算，有这个点涡强度就是环量的值，不论沿哪个回路积分其结果都一样24几种简单的基本二维流动：点涡如图，沿图中路径积分沿BC，DE等径向线段的环量都是零，沿AB，CD，EF等弧线的速度积分等于各段弧对的圆心角乘以Г0/2π所以25几种简单的基本二维流动：点涡再继续推广，沿任何形状的围线积分计算环量都一样（只要点涡在围线内如图沿ABCDEFA仍等于Г0，沿HIGH积分环量为026几种简单的基本二维流动：点涡如果点涡在（ξ，η），不在原点，流函数和位势函数的表达式27几种简单的基本二维流动：点涡这种点涡其实应该看作是一根在z方向无限长的直涡线，除涡心，其余地方无旋点涡的速度分布不可能一直用到核心上去，当r0时vθ∞，压强28几种简单的基本二维流动：点涡上述的情况是不真实的，按照点涡的速度分别规律，速度在半径方面的变化率是当r很小时，这个变化率极大，这时黏性必然起作用（黏性力与时代的法向变化率的关系参考前几次课的内容），结果导致涡有一个核，核内的流体vθ不是与r成反比，而是与r成正比；核外流速与r成反比，如图29几种简单的基本二维流动：点涡结论：点涡有涡核核内是有旋流，核外是无旋流涡核的尺寸？做外部计算可以忽略，看作很微小即可涡对外部流场是产生诱导（扰动、感生）速度的，其值与至中心的距离成反比，但对它自己的核心并无诱导速度。30基本位势流的迭加对于平面位势流动，方程变为以速度位势或流函数为变量的线性方程对于任意物体（二维）的绕流问题如何处理？无法直接求解，而是利用基本位势流动或奇点的迭加构筑物体外形（流场几何），其速度位势是各基本位势流动之和（线性迭加原理），构筑出满足要求的流场，问题即可解出对于压力场可以使用Bernulli积分获得31基本位势流的迭加：直匀流加点源一个平行于x轴由左向右的直匀流里面加入一个强度为Q的点源速度位势分速度32基本位势流的迭加：直匀流加点源X轴上存在驻点vxA=0，可以得到驻点坐标：在驻点流速为0，点源的速度与直匀流的速度抵消流线如图经过驻点的流线BAB’是一条特殊的流线—围墙与直匀流里面放置一个半无限长物体造成的流动等效（为何是半无限长？）33基本位势流的迭加：直匀流加点源半无限体在+x无限远处的宽度D（y方向的尺寸）流线BAB’可以根据流函数Ψ=0画出，也可以从流量关系计算出来BAB’流线上的其他点的坐标的确定流场上的压强用速度得到，可以表示为无量纲的压强系数Cp，其定义为34基本位势流的迭加：直匀流加点源按照压强系数的定义，沿半无限长体的外表面，压强系数的分布是：代入后，有Cp沿x轴的分布曲线A驻点Cp一定为+1，与物体形状无关经过驻点Cp迅速下降至Cp=0，该点流速已达到远前方来流速度，此后气流沿物面加速，经过一段距离达到速度最大值（Cp最小），一般物体也有类似规律，地点或早或迟经过速度最大点流动开始减速，减速很慢，到无穷远恢复到来流速度35基本位势流的迭加：直匀流加偶极子直匀流加源得到半无限长体流动，物形不会收口；如需收口需要加负源，当正源和负源的总强度为零时，物形才能收口直匀流加偶极子可以得到封闭的物形直匀流平行于x轴，由左向右，一个轴线指向负x的偶极子放在坐标原点，位势函数36基本位势流的迭加：直匀流加偶极子流动图案：直匀流绕圆圆的半径a由驻点A确定根据a的表达式，位势函数可以写成流函数Ψ=0是一条特殊的流线，此时θ=0或π，这就是x轴；还有r=a，这是一个半径为a的圆37基本位势流的迭加：直匀流加偶极子速度分量：在r=a的圆上绕圆的流动在圆表面上只有圆周的速度vθ，而没有径向速度vr，38基本位势流的迭加：直匀流加偶极子压强系数压强系数分布如图：驻点，来流速度点，最大速度点，后驻点流动上下、左右对称不考虑流体的黏性，任何封闭物体的阻力为零（达朗贝尔佯谬）研究无黏流的意义分析流动的各个因素翼型升阻比的提高39基本位势流的迭加：直匀流加偶极子和点涡上述流动中再在圆心处加一个强度为-Г的点涡（顺时针为负）位势函数和流函数：40基本位势流的迭加：直匀流加偶极子和点涡在极坐标下的速度分量r=a仍旧是一条流线，在这个圆上驻点位置的确定：θ0在第三四象限，前后驻点关于y轴对称。驻点θ0离开π和0的多少决定于环量与半径速度之积的比值，环量越大，驻点越下移41基本位势流的迭加：直匀流加偶极子和点涡流动左右对称，上下不对称，y方向合力不为零用Bernulli积分计算合力：按照速度在圆上的分布，根据Bernulli方程计算压力，然后沿圆周积分，最后计算出压强系数用动量定理计算合力：控制面S包括圆面和链接割线，S上的压力积分是物体所受的合力，无X，只需计算Y42基本位势流的迭加：直匀流加偶极子和点涡Y向力的表达式：库塔—茹科夫斯基定理（升力）这是作用在单位长度柱体上的升力只要是一个封闭物体，代表这个物体作用的正负源强度总和必须为零正负源放在一起，远离物体，其作用与偶极子没有区别环量是升力存在的最根本因素43基本位势流的迭加：直匀流加偶极子和点涡带环量的压力分布有环量与无环量压力分布的对比：升力来自于“吸力”44镜像法直壁的干扰固体表面是流线，不可逾越（特殊的流线可以视为壁面，反之流场中的壁面可以设法产生与固壁一样的流线）45如何用流函数表达直壁？镜像法对于直壁，在直壁的另一侧对称的点上放置一个同一强度的源，这两个源在直壁位置上产生的速度必然大小相等，一个上斜，一个下斜，斜角相等，结果合速度必然恰好与直壁一致直壁上一半为真实流动，下一半是认为配的，这种方法称为镜像法镜像法的流函数：46镜像法y=0时，Ψ=0，x轴是流线之一。沿y轴只有vy镜像源的作用分析0≤ya：镜像产生的速度减小实有点源的速度，在原点速度为零，是驻点ya：镜像产生的速度与实有点源的速度同一方向，增大速度（设想点源自由移动）在直壁上：坐标原点O左右|x|≤a，流速逐渐增大，压强逐渐下降在原点附近：高压区（气垫船）47镜像法一个强度为Г的点涡放在一个直壁旁边，直壁的作用也用镜像法分析：在直壁另一侧布置等强度反向镜像点涡流函数：48镜像法直壁上任何一点P受到两个涡的作用，合速度vx，和没有直壁的情况对比，直壁的存在把实有点涡原来的下一半的流动挤到一起，流速增大单个涡的存在，自己对自己无诱导速度，所有涡不会移动。直壁的作用等于镜像，镜像涡会对实有涡产生诱导速度，使实有涡以Г∕4πa的速度向右移动49镜像法一对实有涡在彼此的作用下会平行向前，同时直壁的作用又使二者向x方向运动（二者分开向外移动）两个镜像涡对每一个实有涡都起作用，而且二者所产生的x方向的诱导速度方向恰好相反，但并不恰好对消一个涡在互相垂直的两直壁间情况与图类似50地面效应飞机的地面效应地面效应的计算方法地面效应对飞机飞行的影响地面效应的利用51地面效应飞行器52圆壁的干扰点源强度Q，坐标（a,0）；半径R的圆，Ra，圆心在原点如何布置镜像点源，得到有圆壁存在时的点源流动？（圆是一条流线）53例子位于(a,0)、(-a,0)强度为+Q的两个点源和位于(0,a)、(0,-a)强度为-Q的两个点源构成的流场中有一条流线是半径为a的圆54洞壁干扰风洞有限的尺度与飞机在大气中飞行存在较大差别，风洞实验的数据必须经过修正才能使用，这种修正称为洞壁干扰修正低速风洞的洞壁干扰又两种效应模型对气流的堵塞效应（通道变窄，流速提高，相当于改变了来流速度