全国2002年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码02199

02199复变函数与积分变换第1页共7页全国2002年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199第一部分选择题(共40分)一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.复数z=1625825i的辐角为（）A.arctan12B.-arctan12C.arctan12D.arctan122.方程Rez2=1所表示的平面曲线为（）A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线3.复数z=355(cossin)i的三角表示式为（）A.34545(cossin)iB.34545(cossin)iC.34545(cossin)iD.34545(cossin)i4.设z=cosi，则（）A.Imz=0B.Rez=C.|z|=0D.argz=5.复数e3+i所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw等于（）A.4B.2401kk,,,C.4D.2401kk,,,7.函数w=z2把Z平面上的扇形区域：0argz3，0|z|2映射成W平面上的区域（）A.0argw23，0|w|4B.0argw3，0|w|4C.0argw23，0|w|2D.0argw3，0|w|28.若函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且z=a为D内任一点，n为正整数，则积分fzzadznC()()1等于（）A.211infan()!()()B.2infa!()02199复变函数与积分变换第2页共7页C.2ifan()()D.2infan!()()9.设C为正向圆周|z+1|=2，n为正整数，则积分dzzinC()1等于（）A.1B.2iC.0D.12i10.设C为正向圆周|z|=1，则积分dzzC||等于（）A.0B.2iC.2D.211.设函数fzedz()0，则f(z)等于（）A.zez+ez+1B.zez+ez-1C.-zez+ez-1D.zez-ez+112.设积分路线C是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则zzdzC12等于（）A.2iB.2iC.2iD.2i13.幂级数znnn11!的收敛区域为（）A.0|z|+B.|z|+C.0|z|1D.|z|114.z=3是函数f(z)=sin()zz33的（）A.一阶极点B.可去奇点C.一阶零点D.本性奇点15.z=-1是函数cot()zz14的（）A.3阶极点B.4阶极点C.5阶极点D.6阶极点16.幂级数()!()!nnznn120的收敛半径为（）A.0B.1C.2D.17.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=Qzzz()()1，则Res[f(z),0]等于（）A.Q(0)B.-Q(0)C.Q()0D.Q()018.下列积分中，积分值不为零的是（）02199复变函数与积分变换第3页共7页A.()zzdzC323，其中C为正向圆周|z-1|=2B.edzzC，其中C为正向圆周|z|=5C.zzdzCsin，其中C为正向圆周|z|=1D.coszzdzC1，其中C为正向圆周|z|=219.映射w=z2+2z在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（）A.|z+1|12B.|z+1|12C.|z|12D.|z|1220.下列映射中，把角形域0argz4保角映射成单位圆内部|w|1的为（）A.w=zz4411B.w=zz4411C.w=zizi44D.w=zizi44第二部分非选择题(共60分)二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。21.复数z=4+48i的模|z|=.22.设z=(1+i)100，则Imz=.23.设z=e2+i，则argz=.24.f(z)=z2的可导处为.25.方程lnz=3i的解为.26.设C为正向圆周|z|=1，则()1zzdzC.27.设C为正向圆周|z-i|=12，则积分ezzidzzC()2.28.设C为正向圆周||=2，f(z)=sin3zdC，其中|z|2，则f()1.29.幂级数nnznnn!1的收敛半径为.30.函数f(z)=1111115zzz[()]在点z=0处的留数为.三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31.求u=x2+2xy-y2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1.02199复变函数与积分变换第4页共7页32.计算积分I=zzzdzC||的值，其中C为正向圆周|z|=2.33.试求函数f(z)=edz20在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.34.计算积分I=ezizidzzC()()223的值，其中C为正向圆周|z-1|=3.四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分）。35.利用留数求积分I=cosxxxdx420109的值.36.设Z平面上的区域为D：|z+i|2，|z-i|2，试求下列保角映射：（1）w1=f1(z)把D映射成W1平面上的角形域D1：4argw134；（2）w2=f2(w1)把D1映射成W2平面上的第一象限D2：0argw22；（3）w=f3(w2)把D2映射成W平面的上半平面G：Imw0；（4）w=f(z)把D映射成G.37.积分变换（1）（2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：yyyyy210001,(),().全国2002年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题参考答案课程代码：02199一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1.B2.D3.C4.A5.A6.B7.A8.D9.C10.A11.D12.C13.B14.B15.C16.D17.B18.D19.A20.C二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)21.822.023.124.z=002199复变函数与积分变换第5页共7页25.z=12133(),iei或26.4i27.2()i28.23233ii,cos或29.e30.6三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31.解1：uxxyuyxy2222,,由C-R条件，有vyux，vxuy，∴vvydyxydyxyyx()()2222.再由vxyxxyuy222()，得(),(),xxxxC22于是∴v=2xy+y2-x2+C.由v(0,0)=1,得C=1.故v=2xy+y2-x2+1.解2：v(x,y)=vxdxvydyCxy(,)(,)00=()()(,)(,)222200yxdxxydyCxy=-x2+2xy+y2+C以下同解1.32.解1：zzzdzzdziidCC||Recos(cossin)12222=4i(cos).1240di解2：zzzzdzeeiedCiii||||2222202=2i(2π+0)=4πi.33.解：因为fˊ(z)=ez2=()!()!(||)znnzznnnnn20021，所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得f(z)=fdnznnnnz()()!1212100（||z）.02199复变函数与积分变换第6页共7页34.解：因在C内f(z)=eziziz()()223有二阶极点z=i，所以fzdziddzzifzziC()!lim[()()]212=232323ieziezizizzlim[()()]=1612().i四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题选做一题，需考《积分变换》者做37题，其它考生做36题，两题都做者按37题给分。每小题10分，共20分）35.解：在上半平面内，f(z)=ezziz()()2219有一阶极点z=i和z=3i.∵I=121912192222cos()()Re()()xxxdxexxdxix=12223Re{Re[(),]Re[(),]},isfziisfziRes[f(z),i]=116ei,Res[f(z),3i]=1483ei,∴Iee483132().36.解：（1）由||||zizi22解得交点z1=1,z2=-1.设w1=zz11，则它把D映射成W1平面上的D1：4341arg.w（2）设w2=ewi41,则它把D1映射成W2平面上的第一象限D2：022arg.w（3）设w=w22，则它把D2映射成W平面的上半平面G：Imw0.（4）w=()().ezzizzi422111102199复变函数与积分变换第7页共7页