体育统计正态分布的计算

正态分布理论在体育中的应用主要应用方面：制定考核标准制定离差评价表进行人数估算在综合评价中统一变量单位应用正态分布理论制定考核标准制定考核标准的步骤：1：制作正态曲线的分布草图。2：计算出从﹣∞到ui值所围成的面积概率。3：查表求得各等级的ui值。4：求得各等级标准的原始成绩xi值。举例说明（如书本例5.1）应用正态分布理论制定离差评价表制定离差评价表的步骤：1：根据指标总数画好框表。2：将各个指标的平均数填入0标准差等级线与各个指标纵线的交叉处。3：计算1标准差，2标准差，3标准差的对应指标数值，并填入各级标准差等级线与各个指标纵线的交叉处。特别要注意计量的方向性（如：田径中田赛与径赛的计分区别）。4：依据指标成绩基础值和指标变化值画出不同时期的变化图线。5：注意离差等级的划分标准合理制定。（参考标准有两种）举例说明（如书本例5.2）应用正态分布理论进行人数估算应用正态分布理论进行人数估算的步骤：1：作正态分布曲线的草图，以确定估计范围。2：求各个区间的ui值。3：查表找到所估计范围的面积概率。4：计算估计范围的人数。举例说明（如书本例5.3）应用正态分布理论进行人数估算标准正态分布与非标准正态分布１.正态分布δ～Ｎ(μ,σ２)中，在μ=0，σ=1时，称为标准正态分布。记为：δ～Ｎ(０,１)在实践中存在的正态分布不总是标准正态δ～Ｎ(０,１)，相反，大部分分布中都有μ≠0，σ≠1，即非标准正态分布。其概率的计算不能直接利用正态分布面积表查询。同时我们也知道，非标准正态分布能够通过一个公式进行转换成标准正态分布，这个过程叫做将非标标准化的过程。标准化以后我们就能够用正态分布表进行直接查询。设δ～Ｎ(μ,σ２)，则～Ｎ(０,１)此公式反映出新设变量η与原变量δ之间的关系，其实是两种分布规律之间的关系。应用正态分布理论进行人数估算非标准正态分布的概念计算1）已知点，求面积（即已知变量的取值，求概率）。例①．已知δ～Ｎ（10，9），求=？０Ｙ１０１３Ｘ解：如图，即求阴影部分面积，Y先将点13标准化=31013=1)13(p=)1()13(pp查表：)13(p=)1(p=0.8413应用正态分布理论进行人数估算例②．已知～N（10，9），求)7(p=？１０７０ＹＸ解：如图，即求阴影部分面积先将点7标准化3107=-1Y依据曲线的对称性有：)1()1()7(ppp)1(p查表：)7(p)1(p=0.8413应用正态分布理论进行人数估算例1．已测得某大学男生跳远成绩的平均数x5.20M，标准差s0.15M，原始成绩基本呈正态分布，该校男生共1500人，现要分别估计跳远成绩在5.50M以上，5.30M到5.50M，4.9M到5.30M，4.9M以下的人数。５.５４.９𝑃１𝑃２𝑃４𝑃３Ｙ０Ｘ５.３应用正态分布理论进行人数估算解：如图，要求出各区间的分布人数必须先求出各区间的概率，即为：“已知点，求面积”。1）.先将点5.50，5.30，4.9标准化2）.求各区间的概率：)2()50.5(11ppp=1-0.9772=0.02281)67.0()50.530.5(21pppp=1-0.0228-0.7486=0.2286)67.02()30.59.4(3ppp=)2()67.0(pp=0.7486-0.0228=0.72580228.0)2()2()9.4(4pppp3）.求各区间的人数：11pNn=15000.0228=34（人）22PNn=15000.2286=343（人）33pNn=15000.7258=1089（人）44pNn=15000.0228=34（人）即……。在综合评价中统一变量单位U分法：就是依据距离平均数有多少个标准差的距离来确定分数的方法。如果距离平均数在正方向有2个标准差的距离，则记为U分为2分。在负方向有2个标准差距离，则记为U分为-2分。直接用u值来评分。Z分法：是通过U分转换成更加符合实际运用情况的分数计量方法。可以转换为百分计分法，公式为：累进记分法：用于符合正态分布的前提下不等距升分的方法之一。其公式为：百分位数法：用于不符合正态分布的条件下使用变换分数的变量标准化法。其公式见教材P99（5.15）。100650100650Sxxuz需要计算确定）和为某常数。注意这里的为等级变量，为系数，为累进分数，ZZDkyZkDyk(2U分法公式：是将原始变量转换成标准正态分布的横轴变量的一种统一单位的方法。公式为：sxxu（田赛）或sxxu（径赛）U分法具有以下优点：①分数直接反映个体在总体中的位置（标准正态）；②便于综合计算（消除了量纲，无单位）③便于进行比较（用于不同项目，不同单位的成绩比较）Z分法：由于Ｕ分法存在负分，在计算上我们尽量回避，所以出现了Ｚ分法。计算公式为：（其中“－”用于低优指标，如径赛；“＋”用于高优指标。）在体育实践中，不同的运动项目，成绩的记录方式也不相同，若要评价成绩的优劣，必须有一个统一的评分标准。100650xxZ累进记分法：下面大家回答我一个问题：１００米跑的时候是１４Ｓ提高到１３．９Ｓ容易，还是１１Ｓ提高到１０.９Ｓ容易？在许多体育运动项目中，存在这样的情况，在不同的运动水平时，提高相同幅度的成绩其难度是不一样的。评分也应该考虑这些因素，成绩增加难度越大，相应得分也越高的评分方法，称为累进评分法。公式：ZkDY2其中Y为累进分数，K为系数，D为变量，Z为常数。D是一个新变量，它与原始变量X和标准变量U的对应关系为：sxxD5（“＋”用于高优指标，“－”用于低优指标。）想要解上面那个方程，那么我们需要明白的知识点：１）Ｄ这个变量与原始变量Ｘ和标准变量Ｕ之间的关系：(见教材７７页表５.２)２）”𝒙±𝟑𝒔”原理：根据正态分布的规定，可以证明，原始数据在[𝒙＋𝟑𝒔，𝒙−𝟑𝒔]区间中所占数目可占原始数据的９９.７４％．也就是说，在１０００个数据里平均有２－３数据在上述区间之外．由于在上述区间外的数据很少，所以在随机抽样时要抽到这样的数据的机会非常小，可以忽略不计．因此，可以认为这个区间包含了所有的原始数据．３）我们的几乎所有的体育成绩都是符合正态分布的，我们就可以认为[𝒙＋𝟑𝒔，𝒙−𝟑𝒔]这个区间包含了我们所有的体育原始成绩．由此我们可以得出𝒙−𝟑𝒔处是最低分０分，𝒙＋𝟑𝒔处是最高分１００分．那么基于上述观点我们就可以得到这样一个方程组：𝟎＝𝒌𝑫𝟐−𝒁𝟏𝟎𝟎＝𝒌𝑫𝟐−𝒁由于我们是根据𝒙±𝟑𝒔原理指定的起分点和满分点，再根据表５.２，我们可以查出Ｄ值，当𝒙−𝟑𝒔时，Ｄ值＝２，当𝒙＋𝟑𝒔时，Ｄ值＝８，那么我们在把这两个值代入方程组，可得𝟎＝𝒌𝟐𝟐−𝒁𝟏𝟎𝟎＝𝒌𝟖𝟐−𝒁进行到这里，我们上式中的K和Z就可以得出了，k＝1.67Ｚ=6.68现在我们将Ｋ和Ｚ的值代回到最原始的那么公式，即：y=k𝑫𝟐−𝒁,我们就得到了这样一个方程：y=１.６７𝑫𝟐−𝟔.𝟔𝟖．记住：所有的用”𝒙±𝟑𝒔”原则指定起分点和满分点的，最终的回归方程都是一样的．下一步，我们要做的就是将原始成绩Ｘ所对应的分数求出来．举例：见教材７６页例题５.５，我们要利用累进记分法求出这三名运动员的各指标得分．题目分析：该题只有这名运动员的三个指标的成绩，即x的值．可是我们得出的回归方程中并没有Ｘ．只有一个Ｄ．那么我们就要找到这个值之间的关系．原始变量X和标准变量U的对应关系为：sxxD5（“＋”用于高优指标，“－”用于低优指标。）百分位数法：这种方法的原始数据不呈正态分布．故略去作业：课后习题３和习题６．