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你真的懂分形吗什么叫分形集？通俗点说就是“病态”集，我们见到的最“正常”的集合是线段、圆等，这些图形都可以用很好的函数来表达，所以用微积分就足可以对付它们了。然而，自然界也经常犯毛病，尽弄出些稀奇古怪的东东来折磨人，我们在处理一些问题时总希望别出现怪异现象，即使出现，也希望出现的怪异情况越少越好，这种怪异现象数学上称为奇异性。例如在实三维空间中一个电荷分布μ引起的静电势和一个质量分布μ引起的引力势可以表示为：φ（x）=∫dμ(y)/|x-y|所谓势的奇异集指的是使得φ（x）=∞的那些x构成的集合，这个集合有多大？我们当然希望它小一点，判断它大小的办法就是计算它的维数。遗憾的是，企图精确计算出这些集合的维数往往是徒劳的，很多时候我们只能估计出其上界。类似的问题在动力系统、流体力学中也常碰到，所以，别以为这些妖魔鬼怪们都是数学家制造出来吓唬人的。空间中任何一个分形集一定是不含任何区域的集合，例如，直线上的分形集不可能含线段，平面内的分形集一定不含任何圆，不管这个圆的半径多么小，这样的集合无论是局部还是整体都无法用传统的几何语言来描述。当然，这类集合还有很多特征，由于这里只是供大家欣赏，不必纠缠于它更细致的特征，否则你会感到索然无味的。对一般人来说，要真正搞清楚任何一个分形集都不是一件十分轻松的事情，你若不服，且看我介绍历史上最早出现的也是最简单的分形集，看你能从中窥探出多少信息来。下面的文字你也许需要牺牲一点脑细胞才能看明白。将区间[0，1]三等分，挖掉中间的开区间（1/3，2/3），余下两个区间[0，1/3]，[2/3，1]，再将这两个区间三等分，挖掉中间的开区间（1/9，2/9），（5/9，6/9），余下四个区间[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]，[8/9，1]，依此方法不断挖下去，最后剩下的集合记为C，称它为Cantor（康托）三分集。可能你会觉得，这么简单的集合谁不明白？还用得着牺牲脑细胞？君请稍安勿躁，如果你能回答下面的几个问题，我就承认你脑袋上没长毛，聪明绝顶！1、挖去的区间总长度是多少？这个问题对大多数人应该不难回答。2、剩下的集合C含多少个点？不是要你算它的维数，而是要数其中点的“个数”即“基数”或“势”，例如你能不能回答它比有理数多，还是比有理数少？与无理数比呢？谁多谁少？3、你能算出它的维数吗？要回答第三个问题就需要知道什么叫测度，我们知道，区间[a，b]或（a，b）长度均为b-a，可如果我问你有理数集合的长度是多少你能回答吗？嘿嘿，我看这回鲍大侠恐怕真的变成傻子了。不过你傻得有理，因为连一般集合长度的定义都不知道，不傻才怪！那么我们该如何定义一般集合的“长度”呢（这里只说直线上的集合，高维情形道理相同）？别小看微积分，它的思想威力无比，想想看，在微积分中对于一般平面图形的面积是怎么计算的？局部化！就是局部地用矩形代替曲边梯形，然后求和再求极限。简单吧，但你真正理解它深刻的思想内涵了吗？如果你理解了，你就应该知道如何定义直线上一般集合的“长度”，这个长度就叫测度。暂且写到此，够诸位大侠们睡不着觉了，欲知后事如何，且听下回分解。各位大侠被我搞懵了吧？都是分形这个魔鬼闹的！别看杨大侠把分形夸的天花乱坠，郑融老师把分形说得那么富有诗意，其实，你要真正理解它、描述它就没那么激动人心了。打个比方，现在还有谁熟悉DOS操作系统？可是倘若你要把电脑的五脏六俯扒开来看，还就得DOS系统，然而那复杂的命令让很多人感到头疼。Windos固然让全世界人民都享受了电脑带来的方便与快乐，但同时又让很多人成了实际上的机盲。这个问题还是留给李亚辉这个大民科去研究吧，我要将这篇分形进行到底。为了让大家读起来轻松一点，不至于因为读了这篇文章头发变白了然后花钱去染发，我就不再讲得太细致，而是粗线条地介绍。上回说到测度问题，该怎样定义测度呢？假设E是直线上的一个集合（不妨假定它是有界的），我们用一列开区间I_n（n=1,2,3,…）把它盖住，即I_n的并集∪I_n包含了E，I_n的长度当然是可以求的，用|I_n|表示I_n的长度，如果E有长度的话，当然应该小于盖住它的那些区间序列的长度之和：Σ|I_n|≥|E|（注意|E|尚未定义）。由于盖住E的开区间序列很多，所以取Σ|I_n|的“最小者”，这个最小者可能是达不到的，所以微积分里有个词“下确界”，君若不知就不必管它了，权当最小者，这个“最小者”称为E的外测度。这是不是很象微积分里的分割求和？它是不是可以作为E的一种度量呢？如果这个量可以作为E的“长度”，那它应该具备长度概念所有的特征，例如，假如A，B是两个不相交的集合，则应该有|A∪B|=|A|+|B|，令人遗憾的是，外测度未必具有这种性质！于是产生了“不可测集”的概念，这有点象Riemann不可积函数。满足某种可加性的集合称为可测集，否则称为不可测集。还是用例子来说话吧，有理数的测度是多少？设{r_n}为有理数全体，对任意的ε0，令I_n=(r_n-ε/2^n,r_n+ε/2^n)，则∪I_n包含了{r_n}，于是Σ|I_n||{r_n}|，不等式左边是多少？它等于2ε，由于ε是任意的，所以|{r_n}|=0，这就是说，有理数集的“长度”为0，简单吧？再来看看Cantor集C，不难计算，第一次挖去了1/3长度，第二次挖去了两个1/9长度，第三次挖去了四个1/27长度，依此类推，第n次挖去了2^{n-1}个1/3^{n}长度,从而挖去的总长度为Σ2^{n-1}/3^{n}=1。嘿嘿，好象被挖得差不多了，事实上，C的测度（“长度”）的确等于0（第一个问题有答案了）！似乎C所含的点很少了，可以看到C在[0，1]中任何点处都不稠密。我们知道有理数集合是处处稠密的，如此说来岂不是有理数集所含的点比C中的点多？如果你这么看，你的直觉就把你欺骗了，事实上，C中的点与[0，1]区间一样多！惊讶吧？想知道吗？这里暂且放过，以后再论。上述两个例子告诉了我们什么？上面的测度概念无法区分有理数集与Cantor集，我们需要更精细的测度，于是Hausdorff测度横空出世了！测度的基本思想是用开区间覆盖给定的集合，从而得到一个级数Σ|I_n|，当我们对它取“最小值”时，可能其值等于0，如Cantor集与有理数集。可是如果我们给|I_n|加上一个小于1的非负指数α，即考察级数Σ|I_n|^{α}，你认为它还收敛到0吗？我想你应该很容易找到反例的，加上指数α后级数可能收敛也可能发散，这样就出现一个临界状态，即存在某个数d，当αd时Σ|I_n|^{α}永远等于∞,当αd时，Σ|I_n|^{α}的“最小者”（下确界）等于0,只有当α=d时Σ|I_n|^{α}的“最小者”才是个非零的有限数。我们把d称为集合的Hausdorff维数，也称为分数维。说是分数维，其实这个数完全可能是无理数，例如Cantor集的维数是log2/log3（可以通过自相似性公式来计算），有理数集的维数是0（你自己都可以证明它）。千万别让我这篇文章把你吓得再也不敢碰分形了，当你真正扒了它的外衣，你会发现，它不仅外表美，心灵更美！它思想的光辉会让你为之神魂颠倒。