全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选《向量内积》

【课题】7.3平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当a,b＝0时，a·b＝|a||b|；当a,b＝180时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a|＝aa显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cosa,b＝||||abab，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a·b＝0ab”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题7.3平面向量的内积【百度百科】*创设情境兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，朝着与水平线成30角的方向拉小车，使小车前进了100m．那么，这个人做了多少功？【百度图片】=baiduimage&ct=201326592&lm=-1&cl=2&word=%C1%A6%D7%F6%B9%A6#pn=0介绍质疑引导分析了解思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点05*动脑思考探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则Fxi+yjsin30cos30FiFj，总结归纳思考带领学生分析Fs图7—2130O教学过程教师行为学生行为教学意图时间即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W＝｜F｜cos30·｜s｜＝100×23·10＝5003（J）图7－22这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a,b，作OA＝a,OB＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作a,b．两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b,即a·b＝｜a||b|cosa,b(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知a·0＝0,0·a＝0．仔细分析讲解关键词语理解记忆引导式启发学生得出结果15OxijF(x,y)yBAO图7－23ab教学过程教师行为学生行为教学意图时间由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当a,b＝0时，a·b＝|a||b|；当a,b＝180时，a·b＝−|a||b|.（2）cosa,b＝||||abab.（3）当b＝a时，有a,a＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝aa.（4）当,90ab时，ab，因此，a·b＝cos900,ab因此对非零向量a，b，有a·b＝0ab.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1）a·b＝b·a．（2）(a)·b＝(a·b)＝a·(b)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)≠（a·b）·c.请结合实例进行验证.总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析反复强调30*巩固知识典型例题例1已知|a|＝3,|b|＝2,a,b＝60,求a·b．解a·b＝|a||b|cosa,b＝3×2×cos60＝3．例2已知|a|＝|b|＝2,a·b＝2,求a,b．解cosa,b＝||||abab＝222＝−22.由于0≤a,b≤180，所以a,b＝135．说明强调引领思考主动求解注意观察学生是否理解知识点40教学过程教师行为学生行为教学意图时间*运用知识强化练习1.已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为60，求a·b．2.已知a·a＝9,求|a|．3.已知|a|＝2,|b|＝3,a,b＝30，求(2a＋b)·b．提问巡视指导思考口答及时了解学生知识掌握得情况45*动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j＝0，又|i|＝|j|＝1，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1i•j＋y1y2j•j＝x1x2|j|2＋y1y2|j|2＝x1x2＋y1y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2(7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则aaa22xy，即a22xy(7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时，cosa,b＝||||abab＝121222221122xxyyxyxy.(7.13)利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知a·b＝0x1x2＋y1y2＝0．因此abx1x2＋y1y2＝0．(7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结60教学过程教师行为学生行为教学意图时间直的问题．*巩固知识典型例题例3求下列向量的内积：（1）a＝(2,−3),b＝(1,3)；（2）a＝(2,−1),b＝(1,2)；（3）a＝(4,2),b＝(−2,−3)．解(1)a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2)a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；(3)a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a·b,|a|,|b|,a,b．解a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5；|a|＝22(1)25aa；|b|＝22(3)110bb；cosa,b＝||||abab＝522105，所以a,b＝45．例5判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(−2,3),b＝(6,4)；(2)a＝(0,−1),b＝(1,−2)．解(1)因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以ab．(2)因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直．说明强调引领讲解说明引领分析强调含义说明观察思考主动求解观察思考求解领会思考求解讲解说明注意观察学生是否理解知识点反复强调70*运用知识强化练习1．已知a＝(5,−4)，b＝(2,3)，求a·b．2．已知a＝(1,3)，b＝(0,3)，求a,b．3．已知a＝(2,−3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．启发引导思考了解及时了解学生知识教学过程教师行为学生行为教学意图时间4.判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(−2,−3)，b＝(3,−2)；(2)a＝(2,0)，b＝(0,−3)；(3)a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5.求下列向量的模：(1)a＝(2,−3)，(2)b＝(8,6)．提问巡视指导动手求解掌握得情况80*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b,即a·b＝｜a||b|cosa,b(7.10)a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积．质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况83*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆教学过程教师行为学生行为教学意图时间【百度百科】*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5,−4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2,−3),b＝(3,−4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3A组（必做）；7.3B组（选做）(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；自我简介：省份：山东省学校：山东省民族中等专业学校姓名：孙正坤职称：高级讲师电话：[phone]电子邮件：[e-mail]通讯地址：山东省民族中等专业学校数学组