使用MATLAB实现随机分形树模拟

1使用MATLAB实现随机分形树模拟尤鸿霞（南通纺织职业技术学院，南通，226007）摘要：阐述了植物模拟的典型方法L-系统及迭代函数系统(IFS)的基本原理。根据这两种方法，利用Matlab软件工具，模拟了带有随机因子的分形树，模拟的分形树形态生动逼真。Matlab具有强大的绘图工具和函数系统，实现随即分形树模拟的程序很简洁。关键字：分形树；L-系统；迭代函数系统IFS；matlab中图分类号：TP391.9文献标识码：A1介绍自然界中种类繁多的植物大都具有自我相似的分形特征。近年来，随着分形理论的发展，分形理论在植物模拟领域得到了广泛的应用。基于分形理论的植物模拟方法主要有L-系统、迭代函数系统、粒子系统等[1]。本文以L系统、迭代函数系统（IFS）的算法思想为基础，以Matlab为编程工具，借助Matlab的绘图功能，实现了随机分形树的模拟。2分形模拟的实现2.1基于L系统的仿真1968年，著名理论生物学家Lindenmayer，在研究植物形态的进化和构造时，提出了一种文法描述方法作为植物生长的数学理论，即L系统，它能很好地表达植物的分枝特征。之后，各地的研究人员开始关注L-系统，并对其做了各种改进。至今，L-系统仍然是植物模拟的一种重要思想方法。L-系统是一种符号重写系统，基本思想为字符串替换，其替换规则基本如下：b→a，a→ab。则其基本演变规律为：b→a→ab→aba→abaab→abaababa→abaababaabaab→……。字符串的增长符合fibonacci数列，即F(n+2)=F(n+1)+F(n)。L-系统应用于植物模拟时，首先根据其符号元和替换规则产生一系列字符串，然后读取字符，按照不同字符表示的意义来执行不同的动作[2]。简单描述如下：第一步：生成字符串1）声明并设置产生式规则2）声明并设置起始点、初始角、迭代步长以及迭代上限等控制参数3）循环用替换字符串替换种子第二步：读取字符并画图4）逐个读取字符串中的每个字符5）根据读取到的字符采取不同的动作读取’F’时，画线段；读取’+’时，逆时针旋转读取’-’时，顺时针旋转读取’[’时，进栈，记录当前状态读取’]’时，出栈图1为笔者用matlab为平台实现的基于L-系统思想的分形树，其产生式规则分别为FF[-F+F+F]+[+F-F-F]、F[+F]F[-F]F、F[+F]F[-F[+F]]。2图1不同生成规则的分形树随着植物模拟技术的发展，一些研究者提出在分形树的基础上加入随机因子，这样的生成树就不是完全按照某一确定的规则，体现了自然界由于外界条件造成的树木生长的偶然性，这样得到的分形树更自然，更逼真。丁永胜等人[3]曾以matlab实现分形树模拟，其分形树是使用单一规则实现的，整棵树采用同一种自相似规则，每一个分枝的分形方法都相同，其生成树的结果如图1。笔者在其基础上，对程序进行了改进，加入了随机因子，整棵树的生成采用三种自相似规则（如程序中的p1、p2和p3），在树木分枝的部位，到底采用哪一种规则生成新的枝干部分，由随机数决定。如functionSltree(n)程序中，使用c=rand(1)函数随机生成一个0~1之间的数字，在分枝部位，如果生成的随机数是0.7~1之间，则采用p1='FF+[+F+F]-[+F]'规则生成新的枝干；若生成的随机数是0.35~0.7，则采用p2='F[+F]F[-F[+F]]'规则生成新的枝干；若生成的随机数是0~0.35，则采用p3='FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]'规则生成新的枝干。这样生成的树木体现了自然界的外界条件对树木生长的影响，使树木的外观看起来更加逼真。程序如下：functionSltree(n)S='F';a=pi/10;A=pi/2;z=0;zA=[0,pi/2];p3='FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]';p1='FF+[+F+F]-[+F]';p2='F[+F]F[-F[+F]]';fork=2:nc=rand(1)ifc=0.7S=strrep(S,'F',p1);elseifc=0.35S=strrep(S,'F',p2);elseS=strrep(S,'F',p3);endendfigure;holdon;fork=1:length(S);switchS(k);case'F'plot([z,z+2*exp(i*A)],'linewidth',2);z=z+2*exp(i*A);case'+'A=A+a;case'-'A=A-a;case'['zA=[zA;[z,A]];case']'z=zA(end,1);A=zA(end,2);zA(end,:)=[];otherwiseendend加入了随机因子之后，生成的分形树更具随机性，更逼真。由于具有随机性，每次执行程序，图2随机分形树仿真图3所生成的分形树是具有不同形态的。实验中，还可以根据需求调整生成规则，增加生成规则的数量，调整随机数的范围等，以得到不同的树。2.2基于迭代函数系统的仿真迭代函数系统（IFS）是分形理论的重要分支，将待生成图像由许多整体自相似的小块拼接而成，局部是整体的一个小复制品。主要技术有相似变换及仿射变换。相似变换可放大缩小甚至旋转，但不变形；仿射变换指在不同方向上变化比率不同的比例变换，一般会改变图形中向量的夹角、点与点之间的距离、图形的面积等，可以将图形进行缩放、伸长、剪切、扭曲等。仿射变换的数学表达式为如下，其中a，b，c，d，e，f均为实数：fdycxyebyaxx''利用IFS方法生成分形图的关键是找出相应的IFS码，根据已有的研究结果，给出如下一组IFS码[4]。本文作者利用matlab工具及这些IFS码，实现了IFS树的模拟。表1一组IFS树的IFS码iabcdef1-0.040-0.19-0.47-0.120.320.65000.560.061.5630.410.46-0.390.610.460.440.52-0.350.250.74-0.480.38笔者在丁永胜等人[3]的研究结果的基础上，采用不同与丁永胜等人的变换公式，如IFST(N)函数中的变换公式xp=a1*x+b1*y+e1，yp=c1*x+d1*y+f1，根据表1的IFS树的IFS码，并重新调整了随机数的分布，实现生成IFS树，如图3。程序如下：function[xx,yy]=IFST(N)x=0;y=0;p=rand(1,N);AA=[-0.04,0,-0.19,-0.47,-0.12,0.3;0.65,0,0,0.56,0.06,1.56;0.41,0.46,-0.39,0.61,0.46,0.4;0.52,-0.35,0.25,0.74,-0.48,0.38]xx=zeros(N,1);yy=zeros(N,1);forss=1:N;ifp(1,ss)=0.25;[x,y]=IFS(x,y,AA(1,1),AA(1,2),AA(1,3),AA(1,4),AA(1,5),AA(1,6));elseifp(1,ss)=0.5;[x,y]=IFS(x,y,AA(2,1),AA(2,2),AA(2,3),AA(2,4),AA(2,5),AA(2,6));elseifp(1,ss)=0.75;[x,y]=IFS(x,y,AA(3,1),AA(3,2),AA(3,3),AA(3,4),AA(3,5),AA(3,6));else[x,y]=IFS(x,y,AA(4,1),AA(4,2),AA(4,3),AA(4,4),AA(4,5),AA(4,6));endxx(ss)=x;yy(ss)=y;endplot(xx,yy,'.b','markersize',2);set(gcf,'color','w')axissquareoff;function[xp,yp]=IFS(x,y,a1,b1,c1,d1,e1,f1)xp=a1*x+b1*y+e1;yp=c1*x+d1*y+f1;return4图3为用matlab程序实现的以表1中的IFS码生成的IFS分形树，调整IFS码为适当的数值，还可以形象地模拟蕨叶、枫叶、蒿草等各种自然界的植物。3结语虚拟植物技术已经成为当今计算机图形学应用领域的研究热点，本文结合最常用的模拟植物形态的两种方法L-系统和迭代函数系统IFS，以matlab软件为运行平台，实现了分型植物的形态模拟。Matlab软件有功能强大的绘图工具箱，实现植物模拟的程序代码简洁，今后可多尝试使用matlab实现更加复杂的虚拟植物技术。参考文献：[1]康军广.基于分形理论的植物模拟[J].河北工业大学硕士学位论文.2006年12月：摘要[2]武志峰.基于分形理论的植物模拟方法研究[J].大连理工大学硕士学位论文.2005年16月：6—8[3]丁永胜，堵秀凤，张水胜.Matlab分形植物模拟[J].齐齐哈尔大学学报.2008.5（第24卷第3期）:63—66[4]刘茗.分形植物形态的模拟算法研究[J].苏州大学同等学历硕士学位论文.2006年10月：27—29MatlabappliedinsimulatingrandomfractalnaturaltreesYouhong-xia(NantongTextileVocationalTechnologyCollege,Nandtong226007,China)Abstract:Lsystemanditeratedfunctionsystem,twotypicalmethodsonsimulatingplantsweredescribedinthispaper.Accordingtothesetwomethods,randomfractaltreesweresimulatedwithmatlabfunctionsandprograms.Therandomfractaltrees’configurationswerenaturalandliving.Inmatlabsoftware,functionsandtoolsfordrawingwerepowerful.Inthispaper,theprogramstosimulaterandomfractaltreeswerecompactandeasytoimplement.Keywords:fractaltree,Lsystem,iteratedfunctionsystem,matlab作者介绍：尤鸿霞：女，（1980-），黑龙江伊春人，南通纺织职业技术学院信息系教师。2006年毕业于无锡江南大学信息工程学院，获计算机应用技术硕士学位。主要研究方向：模式识别，计算机图形学作者联系方式：手机：139062713655办公室电话：[phone]电子邮件：[e-mail]