全国初中数学联赛

2001年全国初中数学联赛第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1、a，b，c为有理数，且等式a+b√2+c√3=√(5+2√6)成立，则2a+999b+1001c的值是（）（A）1999（B）2000（C）2001（D）不能确定2、若ab≠1，且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0，则a/b的值是（）（A）9/5（B）5/9（C）-2001/5（D）-2001/93、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（）（A）2+√3（B）2-√3（C）3/10（D）√3-√24、在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（）（A）AD·BC=AB·BD（B）AB2=AD·AC（C）∠ABD=∠ACB（D）AB·BC=AC·BD5、①在实数范围内，一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x=-b/2a±√(b2-4ac)/2a；②在△ABC中，若AC2+BC2＞AB2，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和△A'B'C'中，a，b，c分别为△ABC的三边，分别为的三边，若a＞a'，b＞b'，c＞c'，则△ABC的面积S大于△A'B'C'的面积S'。以上三个命题中，假命题的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）36、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（）（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8二、填空题（每小题7分，共28分）1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为______。2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为______。3、已知x,y是正整数，并且xy+x+y=23则x2+y2=______。（非原题）4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为_______。2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式+的值为（）（A）5（B）7（C）9（D）112、如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（）（A）（B）4（C）（D）3、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）（A）（B）（C）（D）4、在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（）（A）BMCN（B）BM=CN（C）BMCN（D）BM和CN的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（）（A）()3（B）()4（C）()5（D）6、已知实数x，y满足(x–)(y–)=2008，则3x2–2y2+3x–3y–2007的值为（）（A）–2008（B）2008（C）–1（D）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1、设a=，则=。2、如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为。3、已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且|m|+|n|≤1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则|p|+|q|=。4、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是。答案：B、D、C、B、B、D；–2、、、1。2003年全国初中数学联赛一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.2√(3-2√2)+√(17-12√2)等于A.5-4√2B.4√2-1C.5D.12.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是A.0B.1C.3D.53.若函数y=kx(k＞0)与函数y=1/x的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为A.1B.2C.kD.k24.满足等式x√y+y√x-√(2003x)-√(2003y)+√(2003xy)=2003的正整数对的个数是A.1B.2C.3D.45.设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AD/AB=1/3．若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为3/4，则CE/EA的值为A.1/2B.1/3C.1/4D.1/56.如图，在平行四边形ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为A.3B.4C.15/4D.16/5二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=__________．2.设m是整数，且方程3x2+mx-2=0的两根都大于-9/5而小于3/7，则m=____________．3.如图AA'，BB'，分别是∠EAB，∠DBC的平分线．若AA'=BB'=AB，则∠BAC的度数为_____________．4.已知正整数a，b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a，b中较大的数是_________．2007年全国初中数学联赛第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1．已知满足则的值为()．(A)1(B)(C)(D)2．当分别取值2，…，2006，2007时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于()．(A)-1(B)l(C)0(D)20073．设是的三边长，二次函数在时取最小值．则△ABC是()．(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形4．已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径．则∠A的度数是()．(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°5．设K是△ABC内任意一点，△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F．则S△DEF：S△ABC的值为()．(A)(B)(C)(D)6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球．现从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是()．(A)(B)(C)(D)二、填空题(每小题7分，共28分)1．设，是的小数部分，是的小数部分．则.2．对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作．则=.3．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB=2，BC=CD=10，AD=6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F．则BE-BF的值为。4．若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值为。第二试A卷一、(20分)设为正整数，且如果对一切实数，二次函数的图像与轴的两个交点间的距离不小于，求的值．二、(25分)如图l，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F．过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N．证明：∠AFN=∠DME．三、(25分)已知是正整数．如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．B卷一、(20分)设为正整数，且二次函数的图像与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图像与轴的两个交点间的距离为．如果对一切实数恒成立，求的值。二、(25分)同A卷第二题．三、(25分)设是正整数，二次函数反比例函数．如果两个函数的图像的交点都是整点(横、纵坐标都是整数的点)，求的值．C卷一、(20分)同B卷第一题．二、(25分)同A卷第二题．三、(25分)设是正整数．如果二次函数和反比例函数的图像有公共整点(横、纵坐标都是整数的点)，求的值和对应的公共整点．2006年全国初中数学联赛第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1．已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH的面积和周长．设．则下面关于的说法中，正确的是()．(A)均为常值(B)为常值，不为常值(C)不为常值，为常值(D)均不为常值2．已知为实数，且是关于的方程的两根．则的值为()．(A)(B)(C)(D)13．关于的方程仅有两个不同的实根．则实数的取值范围是()．(A)a＞0(B)a≥4(C)2＜a＜4(D)0＜a＜44．设则实数的大小关系是()．(A)(B)(C)(D)5．为有理数，且满足等式,则的值为()．(A)2(B)4(C)6(D)86．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为()．(A)2000(B)2004(C)2008(D)2012二、填空题(每小题7分，共28分)1．函数的图像与轴交点的横坐标之和等于．2．在等腰中，AC=BC=1，M是BC的中点，CE⊥AM于点E，交AB于点F，则S△MBF=。3．使取最小值的实数的值为．4．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足。就称格点P为“好点”．则正方形OABC内部好点的个数为．注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．第二试A卷一、(20分)已知关于的一元二次方程无相异两实根．则满足条件的有序正整数组有多少组?二、(25分)如图l，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF=90°．ED=DF=1，AD=5．求线段BC的长．三、(25分)如图2，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．求证：(1)O、E、O1三点共线；(2)B卷一、(20分)同A卷第一题．二、(25分)同A卷第二题．三、(25分)如图2，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．(1)求证：O、E、01三点共线；(2)若求的度数．C卷一、(20分)同A卷第二题．二、(25分)同B卷第三题．三、(25分)设为正整数，且．在平面直角坐标系中，点和点的连线段通过个格点．证明：(1)若为质数，则在原点O(0，0)与点的连线段上除端点外无其他格点；(2)若在原点O(0，0)与点的连线段上除端点外无其他格点，则p为质数．2001年全国初中数学联赛第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1、a，b，c为有理数，且等式a+b√2+c√3=√(5+2√6)成立，则2a+999b+1001c的值是（）（A）1999（B）2000（C）2001（D）不能确定2、若ab≠1，且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0，则a/b的值是（）（A）9/5（B）5/9（C）-2001/5（D）-2001/93、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（）（A）2+√3（B）2-√3（C）3/10（D）√3-√24、在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（）（A）AD·BC=AB·BD（B）AB2=AD·AC（C）∠ABD=∠ACB（D）AB·BC=AC·BD5