全国名校高考数学专题训练05平面向量(解答题)

1全国名校高考数学专题训练05平面向量（解答题）1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)关于实数x的不等式22211|(1)|(1)3(1)2(31)022xaaxaxa与的解集依次为A与B，求使AB的a的取值范围。解：由2211|(1)|(1)22xaa得222111(1)(1)(1)222axaa2|21Axaxa由23(1)2(31)0xaxa得(2)(31)0xxa当312a即13a时得|231Bxxa当32aa即13a时得|312Bxax综上解述：当13a时若AB则222131aaa解得13a当13a时若AB则231212aaa解得1aa的范围是|13aa或1a2、(江苏省启东中学高三综合测试四)某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为x21件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？解：设购进8000个元件的总费用为S，一年总库存费用为E，手续费为H．则nx8000，nE8000212，nH500所以S=E+H=xx80005002122AEyxDCB=nn5008000=4000)16(500nn\当且仅当nn16，即n=4时总费用最少，故以每年进货4次为宜．\3、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.解：（1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°y2＝x2＋AE2－x·AE,①又S△ADE＝21S△ABC＝23a2＝21x·AE·sin60°x·AE＝2.②②代入①得y2＝x2＋22()x－2（y＞0）,∴y＝2242xx（1≤x≤2）.（2）如果DE是水管y＝2242xx≥2222,当且仅当x2＝24x，即x＝2时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝2.如果DE是参观线路，记f（x）＝x2＋24x，可知函数在[1，2]上递减，在[2，2]上递增，故f（x）max＝f（1）＝f（2）＝5.∴ymax＝523.即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.4、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)已知()fx是R上的单调函数，且对任意的实数aR，有()()0fafa恒成立，若(3)2f3①求证：()fx是R上的减函数；②解关于x的不等式：()()0,0mxffmmRmx其中且解：①()sin24xfx；②12原式＝；18.①由()fx是R上的奇函数，(0)0f，又因()fx是R上的单调函数，由(3)2,(0)(3)fff，所以()fx为R上的减函数。②当1m时，0,1mxxxm或；当1m时，0xx当01m时，01mxxm。5、(山东省博兴二中高三第三次月考)为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架.三角形支架形状如图，要求060ACB，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解：如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y－0.5）米.在△ABC中，依余弦定理得：ACBBCACBCACABcos2222-------（4分）即212)5.0(222yxxyy化简，得41)1(2xxy∵1x，∴01x因此1412xxy------------------（6分）方法一：232)1(43)1(1412xxxxy.--------------------（10分）当且仅当)1(431xx时，取“=”号，即231x时，y有最小值32.4方法二：2222/)1(412)1()41()1(2xxxxxxxyx-----------------（9分）解041212xxx，得231x-------------------（11分）∵当2311x时，0/xy；当231x时，0/xy.∴当231x时，y有最小值32.6、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)某化工集团在靠近某河流修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万立方米/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万立方米/天的支流并入大河（如图）。第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万立方米；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万立方米，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化。环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这两个工厂都需各自处理部分的工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1000元/万立方米，第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万立方米。试问：在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小？解：设第一化工厂每天处理工业废水x万立方米，需满足：.20%,2.05002xx…………2分设第二化工厂每天处理工业废水y万立方米，需满足：.4.10%,2.0700)4.1()2(8.0yyx…………4分两个化工厂每天处理工业废水总的费用为1000x＋800y元。问题即为：在约束条件4.1020,%2.0700)4.1()2(8.0%2.05002yxyxx下求目标函数)45(200yxz的最小值。7、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)如ABCDMNP5图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）若|AN|[3,4)（单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．解：设AN的长为x米（x2）∵|DN||DC||AN||AM|，∴|AM|＝32xx∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝232xx-------------------------------------4分（1）由SAMPN32得232xx32，∵x2，∴2332640xx，即（3x－8）（x－8）0∴8283xx或即AN长的取值范围是8(2)(8)3，，+-----------8分（2）令y＝232xx，则y′＝2226(2)334)(2)(2)xxxxxxx（--------------10分∵当[3,4)x，y′0，∴函数y＝232xx在[3,4)上为单调递减函数，∴当x＝3时y＝232xx取得最大值，即max()27AMPNS（平方米）此时|AN|＝3米，|AM|＝33932米8、(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元（a＞0）。（I）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；（II）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。解：（I）由题意得（100-x）·3000·（1+2x%）≥100×3000，即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，……………………4分6又∵x＞0∴0＜x≤50；……………………6分（II）设这100万农民的人均年收入为y元，则y=(100－x)×3000×(1+2x%)+3000ax100=－60x2+3000(a+1)x+300000100=－35[x－25(a+1)]2+3000+475(a+1)2(0x≤50)………………9分（i）当025(a+1)≤50，即0＜a≤1，当x=25(a+1)时，y最大；………………11分（ii）当25(a+1)＞50，即a＞1，函数y在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y取最大值。…………13分答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大………………14分9、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知函数()log(1)afxx，点P是函数()yfx图像上任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数()ygx的图像（1）当01a时，解关于x的不等式2()()0fxgx；（2）当1a，且0,1)x时，总有2()()fxgxm恒成立，求m的取值范围.解：由题意知：P、Q关于原点对称，设Q（x,y）是函数y=g(x)图像上任一点，则P（-x,-y）是f(x)=loga(x+1)上的点，所以-y=loga(-x+1)，于是g(x)=-loga(1-x).(1)0a1,2()()0fxgx2101010(1)1xxxxx01a时,不等式2f(x)+g(x)0解集为:x-1x0(2)2()()2log(1)log(1)1.0,1aayfxgxxxax当时2(1)2()()1xfxgxmmxa恒成立,即在x0,1时,log恒成立22(1)(1):loglog11mmaaxxaaxx即恒成立设2(1)4()(1)4,0110,11xxxxxxx4(1)2,011()1xxxx可证在0,2且在在0,10min()1,1,0mxaam710、设有关于x的不等式axx73lg（1）时，解此不等式当1a（2）当a为何值时，此不等式的解集为R（本题满分12分）解：11a时，不等式可化为3710xx……………………………2分由371037xxxx或……………………………………………..4分37xxx解集为或…………………………………………………………5分23710,xx…………………………………………………………….7分欲使axx73lg恒成立，即3710axx恒成立，只须1010a即可1a………………………………………………………..10分11、为贯彻落实党的十七大精神,加快新农村建设步伐,红星镇政府投资c万元生产甲乙两种商品,据测算,投资甲商品x万元,可获得利润P=x万元,投资乙商品x万元可获得利润Q=40x万元，如果镇政府聘请你当投资顾问，试问对甲乙两种商品的资金投入分别是多少万元？才能获得最大利润,获得最大利润是多少万元？解：设对甲厂投入x万元（0≤x≤c）,则对乙厂投入为c—x万元．所得利润为y=x+40xc（0≤x≤c）……………………（3分）令xc=t（0≤t≤c）,则x=c－