全国高中数学联赛模拟试题

1全国高中数学联赛模拟试题张国庆四川自贡蜀光中学643000一．填空题（每题8分，共64分）1.设a是一个实数，若关于x的不等式在,36上恒成立，则a的取值范围是。2.已知xy=1,且0y12,则224(,)16xyfxyxy的最大值是22122231(0),xyPabFFab为椭圆上任意一点，为左，右焦点，221211PFPF的取值范围是。1,cossin,cos.411nnaaaannn定义为：数列，则2014S=5.底面半径为1的圆柱形容器里放4个半径为0.5的实心铁球，4个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切，现往容器里注水，使水面浸没所有铁球，则需注水6.某家电影院的票价为5元一张，现有10人，其中5人持有5元钞票，另外5人持有10元钞票，假设开始售票时售票处没有钱，这10个人随机排队购票，则售票处不会出现找不开钱的概率为。7.已知函数)1(11log)(axxfa，若函数)(xgy的图像上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹方程恰好为f(x),若1,0x，总有mxgxf)()(成立，则m的取值范围是8设上的函数是定义在Rxf)(若Rxf且对任意,2014)0(，xxfxf23)()2()2014(,263)()6(fxfxfx则=二．解答题（共56分）9.，它可看作是满足一定表示数轴上两点的距离分）（ABxxAB16条件的一种运算，这样将满足下列3个条件的一个x与y之间的运算P(x,y)叫做x与y之间的距离（1）非负性：P（x,y)0,当且仅当x=y时取等号；（2）交换律：P(x,y)=P(y,x);（3）三角不等式：P(x,z)P(x,y)+P(y,z)试确定运算S(x,y)=yxyx1-是否为一个距离？若是，请给予证明；若不是，请举出反例。210（20分）已知二次函数)0(1)(2axaxxf的图像与x轴的交点的横坐标分别为21xx、⑴证明：1)1)(121xx（⑵证明：1,121xx⑶若的取值范围。试求满足不等式axxxx,1lg,212111.（20分）过直线PN19250707522、的切线作椭圆上的点：PMyxPyxl，切点分别为M、N，连接MN⑴当P点在直线l上运动时，证明直线MN恒过定点Q.⑵当MN//l时，证明点Q平分线段MN.加试一、（40分）直线l切○·O于点D，A、B、C、D是○·O上顺时针依次排列的四点，A、B、C、在直线l上的投影依次为x、y、z，求证：AB·CZ+BCAX=ACBY.二、（40分）任给一个正整数a，定义一整数列x1，x2，...xn，x1=a,xn=2xn-1+1（n≥1).令yn=2xn-1，试确定最大可能的整数k，使得存在某正整数a通过以上关系得到的y1,...yk都是质数。三、（50分）给定正整数m、n，证明：存在正整数c，使得数cm与cn在十进制表示下每个非零数字出现次数相同。四、（50分）在一个999×999的方格表中，一些方格是白色的，其他方格均是红色的。设T是由三个方格C1、C2、C3组成的方格组（C1，C2，C3）的个数，使得C1、C2在同一行，C2、C3在同一列，且C1、C3是白色的，C2是红色的。求T的最大值。参考答案一填空题1.1,03令t=sinx,21,23t,下面分情况分离系数恒成立则若ttttat21210,22-2，上单调递减，在而0,222t1t0a于是；;022,23121212,22,23t2atttttta上单调递增，于是在恒成立，而则若1,0;121,021t2-1,21,0t;1,0的取值范围是综上所述，上单调递减，于是在恒成立，而则若则若aatttaat的最小值问题为求的最大值问题等价转化于是可将则且),(),(,04,210,182.2yxgyxfyxyxy82),(224,2448)4(416),(22的最大值为即”时，取“当且仅当于是yxfyxyxyxyxyxyxg22222222222222222222221422241)411(42)(42)11(11111,,444,c4uv4-vuv)-u2uv,2,,24,2.3aauvauvuvauvvuvubuvaauvbbuvcauvcvuaavuvPFuPFbbaa）（即（由三角形边长不等式由均值不等式得则记4422221422ax2222min22224224)1u1;2)1u1bbaaPFPFbbavbuvavauvm，的取值范围是因此时，（当时，（当sin,cos,sin,sin,cossin)1(,cossinsin1013042cos1007.4211111aaaaanaanaannnnnnn且等差数列，公差为的奇数项与偶数项都是因此两式相减得sin1013042cos1007sin210061007sin1007sin210061007co1007)()(2014422013312014saaaaaaS式知：故由等差数列的求和公）（）（）故注入水的体积为（，所以水面高度为间的距离即为所在正方体对面之棱之间的距离的直径之和，而一组对对棱之间的距离与小球易知水面高度就是一组的正四面体的四个顶点棱长为个小球的球心构成一个这个铁球两两相切，所以由于）（223121344-221221221442231.53612524242)5,5()5,5(),1()1,(),(0),(p,1)0,(10n5m),(25255101061.6510故所求概率为数，即不能穿越对角线的路径到等于从如图，且时，当则方式数，元的人满足条件的排列个手持元，个手持表示记！！！个人按钞票的排列数为这pBApnmpnmpnmpnmnmmpnmpC1514284242B49141451111A00)0()(1,0)121(log)(1)(,1,0,11log)(F,11log)()(),1(log)(,11log)(),(P),,()(0m.7minminmFxFxxFamxFxxxxmxxmxgxfxxgxyxfyyxQyxPxgyaaaaa上是增函数，在所以即可，由于由题意知令得由即的图像上，则在关于原点的对称点则图像上任意一点设20142)0()1222(3)0()0()2()2010()2012()2012()2014()2014(23)()2(,232632323)()6()4()6()2()4()()2(20142.82014220102012422014fffffffffxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxxx所以从而）；时取等号，满足条件（当且仅当可。它是否满足三个条件即是否为距离，只要验证要说明1,01),(S),(.9yxyxyxyxyxS）满足条件（2),(11),(xySxyxyyxyxyxS；3552216为一个距离。综上，运算）满足条件（所以上是增函数，且，在yxyxyxSzySyxSzyzyyxyxzyyxzyzyyxyxzyyxzyyxzyyxfzxfzxzxyxSzyyxzyyxzxxxxxf1),(3),(),(11111)()(1),()()(01111)(1)1(1,1,1011.102121212121221xxxxxxaxxaxxxaxxxx）从而（的两个实根的一元二次方程是关于、）由题意知（1,101,0101)1)(1(02)1()1(41414100410,012212121212121212xxxxxxxxaxxaxxaaaxxxax即即所以、有实根）由于（41121101211011101111412114121)1(11,1110111110111011111)1)(1101011lg11lg)3(2222222212222122121212121，的取值范围是所以取最小值时，或当；取最大值时，当解得得由（aaxaxxxxxxaxxxxxxxxxxxxxxxx719251925P1925,1925),,(),,(),,(.11020201012211221100yyxxyyxxyyxxyyxxNMyxNyxMyxP，，则有因为两切线都过点的切线方程为、则椭圆过设这表明M、N均在直线192500yyxx①上，由两点决定一条直线知方程①就是直线MN的方程，其中的方程。满足直线（lyx),00当点P在直线l上运动时，可理解为0x遍取一切实数，相应的0y0,107500xy代入①式消去0y得01637052500yxxx对一切Rx0恒成立可得：)109,1425(019100635250)1910()63525(0QMNyyxyyxx恒过定点由此解得直线时，）当（lMN//2由式知5334375,71763705525000xxx解得代入式得此时MN的方程为03553375yx③将此方程与椭圆方程联立消去y得012251280687533255332xx14252553327533)109,1425(xQMN的横坐标，即坐标恰好为截椭圆所得弦的中点横由此可得，此时代入③式得弦中点纵坐标为109恰为Q点的纵坐标所以Q点平分线段MN.加试参考答案一、作直径DE，连AD、AE，则ADX=AED，AXD=EAD=90。，所以△ADX∽△DEA，于是ADAXDEAD,即AD2=DE·AX，同理BD2=DE·BY，CD2=DE·CZ.由托勒密定理，有AB·CD+BC·AD=AC·BD.所以，AB··DECZ+BC··DEAX=AC··DEBY8即AB·CZ+BC·AX=AC·BY.二、满足题目最大整数k=2，事实上，如果，yi是质数，则xi也为质数，因为，xi=1,则yi=1不为质数，若xi=mn（整数m、n1),则2m-1|2xi-1,即xi为分数，则yi也为分数。下面证明，对任意的奇质数a1、y1、y2、y3中至少有一个合数（假设不然，则x1、x2、x3均为质数，由于x1≥3是奇数，则x23，且x2≡3（mod4），因此x3≡7(mod8)，则2是x3二次剩余，即存在x∈N*，使得x2≡2(modx3)),从而，2x2=2≡x≡1(modx3),则x3|y3，显然y2是合数，因为x23，则2-12x2+1=x3，所以y2是合数。最后，如果a=2，得y1=3,y2=31,而y3=211-1能被23整除，所以k=2.三、证明：若n与10不互质，设n=n1·2α·5β，（n1，10）=1，取b使bn=n1·2α+β·5α+β，将bm与n1看作原来的m、n，因此可以不妨设（n，10）=1.此时，我们可以取到正整数c、k、r、s满足c=10t+m=10t+n.为此，我们首先