全概率公式在数学模型中的应用

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概率统计模型前面几章讨论的模型中,有关的量都假定为确定性的,即所研究的问题和与问题有关的因素都是确定的.然而实际问题中常有许多不确定的因素起作用,特别是随机因素.下面介绍几类涉及随机变量的模型.§8.1库存问题一、问题的背景与提出工厂为了稳定的生产,需要贮存一定的原料或零部件;商店为了满足顾客的需要,要有足够的库存商品;银行为了进行正常的营业,需要一定的货币进行周转;医院为了手术的急需,血库必备充足血液.总之库存问题是普遍存在的.早在1915年,哈里斯(Harris)对商业中的库存问题建立了一个简单模型,并求得了最优解,但未被人们注意.1918年威尔逊(Wilson)重新得出了哈里斯的公式,并将其发展.他们的模型都是确定性的,二次大战后,带有随机性因素的库存模型得到研究.目前,库存问题的兴趣已转到了多物品、多个库存点的理论.二、模型假设(1)只考虑一种物品,其需求是随机的,需求量x是非负连续的随机变量,密度函数为φ(x),分布函数为Ф(x);(2)只考虑一个库存周期,即在库存周期开始时,做一次决策,决定进货量;(3)瞬时供货;(4)决策前原有库存量为I,进货量为Q,决策后的库存量为y=I+Q;(5)费用包括订货费、存贮费和缺货费.每次的订购手续费为K,货物单价为p;存贮费在周期末结算,它与期末的库存量成正比,比例系数为h(单位存贮费),缺货费与缺货量成正比,比例系数为g(单位缺货损失);(6)决策的准则是期望总费用最小.三、模型的建立与求解库存问题有补充—库存—需求三个环节.在这一系统中,若一次进货量多,进货的次数就少,进货的费用就少,但库存量大,库存费用就大,造成需求缺货就可能少,缺货损失就会少;若一次进货量少,进货的次数就多,进货费用就大,但库存量小,库存费用就小,造成需求缺货就可能多,缺货损失就会大.如何协调这些矛盾,使该系统在某种准则下运行最佳.即如何确定进货量,使其总费用最小.进货费用为存贮费用为期望存贮费用为缺货损失为期望缺货损失为记L(y)=Ec2(y–x)+Ec3(x–y)(1)则总费用为(2)目的是求当需要进货时有令(3)若S是使函数达到极小值的点,则(4)设s为库存量进货点,即当初始库存I0.204所以S=40,Q=S–I=40–10=30又因为K+pS+L(S)=60+800×40+40×[(40–30)×0.2]+1015×[(50–40)×0.4+(60–40)×0.2]=40260800×30+1015×[(40–30)×0.2+(50–30)×0.4+(60–30)×0.2]=40240≤K+pS+L(S)所以s=30.故存贮策略为每个阶段开始时检查存贮量I,当I30吨时不必补充存贮;当I≤30吨时补充存贮量到40吨.例2某市石油公司希望确定一种油的存贮策略,以确定应贮存的油量.该油的市场需求服从指数分布,其密度函数为该种油每近2元,不需进货费.由于油库归该公司管辖,油池灌满与没灌满时的管理费用实际上没有多少差别,故可以认为存贮费用为零.如缺货就从邻市调用,缺货费为3元/斤.解由模型假设K=0,h=0,p=2,g=3计算由,有,两端取对数解出S≈405000因ps+L(s)=2s+K+pS+L(S)=由观察可知,它有唯一解s=S.所以当库存下降到405000斤以下就应进货,使库存达到405000斤.出现s=S,是因为进货费为零,可以频繁进货,又存贮费为零,存贮量多一些也不会增加费用.五、模型讨论由(3)可以看出,缺货费g越大,概率越大,库存水平S应越大,这是符合常识的.根据假设(4),Q=S-s,由(1),(5)经化简便为(6)在S确定的情况下(S由(4)可确定),由(6)可求得Q,进而可求出s.如由(4)可解出由(6)有简化后为它可由数值方法或图解法求解,由上式亦可求得Q的近似解,当λQ较小时,取展开到二阶项,此时可得到,则§8.2维修问题一、问题的背景与提出现实中许多系统在使用过程中,往往由于维修性问题考虑不周,而使维修费用过大.特别是系统突发性故障,常常会造成巨大的损失,有时会招致灾难性后果.因而在故障前进行预防性维修是提高系统可靠性、安全性和经济性的有效措施.维修问题最早起因与机器维修问题,后发展为可靠性理论,是应用概率和应用数理统计的一个重要分支.二、模型假设只考虑一个部件的故障,部件寿命是随机的,遵从指数分布;部件故障需检测才会发现,ci为一次检测费用,检测时间忽略不计,检测时间间隔为T;若发现部件故障,则立即更换,cf为一次更换费用,更换时间忽略不计.若发现部件仍正常,则让部件继续工作;部件故障没能及时发现,造成的单位时间损失为cd;决策准则是期望费用最小.三、建模与求解因部件故障需检测才能知道,所以检测时间间隔过大,致使设备经常处于故障状态,造成故障损失(停工损失或需要使用时不能及时提供的损失);检测时间间隔过小,造成不必要的过多检测费用损失.问题是寻找最优的检测时间间隔T.设相邻两次更换的时间间隔为一个周期.当部件寿命t满足nTTλ(cf-ci)时,则有唯一有限解T*,此时可用数值方法或图解法求解.(2)一般来说,检测时间间隔T不一定是常数,而应该根据故障出现时刻的概率来确定.在故障概率大的时候检测间隔短;故障概率小时检测间隔长.故T是时间的函数.§8.3风险决策的咨询价值一、问题的背景与提出人们在处理问题时,往往面临着抉择,即需要做出决策.而对未来信息的不完全了解,决策要冒一定的风险.这种在不确定条件下的抉择,在现实世界中处处存在,即风险决策.在风险决策的情况下,人们为了增强决策的可靠性,常常要对未来信息作进一步的咨询(为获得新信息所进行的试验或调查).咨询要付出一定的代价,人们关心的问题是咨询有多大的价值,是否值得咨询?二、模型的假设面临抉择的方案集合为A={A1,A2,…,Am},即策略集合;未来状态是随机的,状态集合为S={S1,S2,…,Sn},其概率分布为P{Sj}=pj,决策的损益函数为vij=V(Ai,Sj),即采取方案Ai在状态Sj时带来的损失或收益;咨询的结果集合为I={I1,I2,…,Il},咨询信息I的质量为P(Ik|Sj)=pkj,咨询费用为C;决策准则为期望损益最优.三、建模与求解不妨设损益为收益,咨询前的最大期望收益由全概率公式和贝叶斯公式有k=1,2,…,l,j=1,2,…,n,咨询结果为Ik时,最大期望收益为咨询后的期望收益为当ER–E(As)C时,值得咨询;当ER–E(As)≤C时,不值得咨询.四、模型试验例4某公司生产某种产品有三种生产方案A1,A2,A3,其收益依未来市场而定.市场对该产品的需求程度是不确定的,简单地归结为两种情况,需求高S1;需求低S2.根据以往的情况估计概率为P(S1)=0.6,P(S2)=0.4,已知在不同方案下的后果估计列入下表后果策略状态S1S2A1180000元-150000元A2120000元-50000元A3100000元-10000元在决策实施以前再进行一次新的市场调查.调查结果可能得到对市场情况乐观的报告I1或者得到对市场情况悲观的报告I2.根据市场研究小组过去类似的调查经验,该小组的调研水平为P(I1|S1)=0.7,P(I2|S2)=0.6.调查费用为5000元,是否值得调查?解根据假设v11=180000,v12=-150000,v21=120000,v22=-50000,v31=100000,v32=-10000如果不调查,三个方案的期望收益为E(A1)=0.6×180000+0.4×(-150000)=48000E(A2)=0.6×120000+0.4×(-50000)=52000E(A3)=0.6×100000+0.4×(-10000)=56000其中方案A3的期望收益最大,决策便是执行方案A3.如果调查,计算概率有P(I1)=0.58,P(I2)=0.42q11=P(S1|I1)=0.72,q21=P(S2|I1)=0.28,q12=P(S1|I2)=0.43,q22=P(S2|I2)=0.57咨询结果为I1时,最大期望收益为E(A1|I1)=89000咨询结果为I2时,最大期望收益为E(A3|I2)=37100咨询后的期望收益为=67202因ER–E(A3)=67202–56000=11202C=5000,所以值得调查.五、模型的分析与讨论(1)灵敏度分析.在咨询前,考察状态概率的估计值对最优策略的选择是否灵敏,即如果概率值轻微的改变就会影响到最优策略的选择,则咨询是非常必要的;相反,如果概率旨在较大的范围内变化也不会改变原来的决策,则咨询应停止.灵敏度分析的步骤是:选择某状态的概率估计作为分析变量;通过计算期望值确定最优策略Ai和次最优策略Aj;令E(Ai)=E(Aj),并从中解出分析变量的值;把上一步解出的值与原来的估计值相比较,观察改变量对决策是否灵敏,并选择新变量重复上述过程.以例4为例,选择状态S1的概率p作为分析变量,由策略对应的期望值知,最优策略为A3,次最优策略为A2,令E(A3)=E(A2),即p×100000+(1-p)×(-10000)=p×120000+(1-p)×(-50000).解得:,这说明当S1的概率估计值在0.6到0.67之间都不会改变对A3的选择,状态概率的估计对决策较灵敏.咨询有必要.(2)全信息的价值.假定咨询可以绝对准确地预报未来出现的状态,这称为全信息.通过全信息下的期望收益与未咨询时的最大期望收益值差,可考察在信息方面有多大的潜力可挖.如例4,P(S1|I1)=1,P(S2|I2)=1.咨询后的期望收益为ER=180000×0.6+(-10000)×0.4=104000,ER-E(A3)=104000-56000=48000.这是全信息的价值,是咨询费用的上界.§8.4对策问题一、问题的背景与提出在现实世界中,我们经常见到带有竞争或对抗性质的现象.像体育比赛、市场竞争、军事斗争、政治谈判等,这类现象的共同特点是参加的往往是利益相冲突的双方或几方,为了达到各自的目标和利益,各方必须考虑对手的各种可能的策略,并力图选取对自己最有力或最为合理的策略.对抗的结果并不只取决于某一方所选取得策略,而是与各方所选取得策略有关.这类带有对抗性质的现象,称为对策现象.用数学方法来研究对策现象,就是研究在对策现象中,对抗各方是否存在着最合理的策略,以及如何找到这个合理的策略.二、模型的假设(1)由两个对策参与者,即局中人,局中人集合为I={1,2};(2)局中人1,2的策略集合分别为S1={α1,α2,…,αm},S2={β1,β2,…,βn};(3)局中人1的赢得函数为aij=H(αi,βj),局中人2的赢得函数为–aij,即局中人1赢得aij,局中人2就失去–aij;(4)局中人1,2是理智的.三、建模与求解由假设(3)有局中人1的赢得矩阵为A=(aij)m×n.我们的问题是考虑,在这个对策现象中,是否存在一个局势(α,β),α∈S1,β∈S2,使得局中人1采取α策略是最合理的,居中人2采取β策略是最合理的.如果存在我们称该局势为平衡局势.考虑到对策双方的行为是理智的,谁也不会去冒险,必然采取最稳妥的策略.最稳妥的策略是指:局中人采取各种策略时,最不利的情况是什么,而从这些最不利的情况中选择最有利的一种.即对局中人1来讲最稳妥是考虑所对应的策略,同样对局中人2来讲最稳妥是考虑所对应的策略.由此,当==时,平衡局势存在,否则平衡局势不存在.当平衡局势不存在时,双方都不能连续不变的使用某中策略.因一方连续的使用某种策略而获利时,另一方必察觉,从而改换其策略以对付.所以双方必须考虑如何随机地使用自己的策略,从而使对方难以捉摸.设X=(x1,x2,…,xm)是局中人1在策略集合S1={α1,α2,…,αm}上的一个概率分布,即局中人1采取策略αi概率为xi,,称为局中人1的一个混合策略.Y=(y1,y2,…,yn)是局中人2在策略集合S2={β1,β2,…,βn}上的一个概率分布,即局中人2采取策略βj概率为yj,,称为局中人2的一个混合策略

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