信号与系统chapter2连续时间系统的时域分析

第二章连续时间系统的时域分析§2.1简介线性系统时域分析方法§2.2求解系统微分方程的经典法§2.3起始点的跳变§2.4零输入响应和零状态响应§2.5冲激响应和阶跃响应§2.6卷积§2.7卷积的性质1经典法解方程零状态:利用卷积积分法求解变换域法时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法直观，物理概念比较清楚。§2.1简介线性系统时域分析方法列写方程:根据元件约束，网络拓扑约束零输入:可利用经典法求经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决——h(t)；卷积积分法:任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。系统分析过程双零法2§2.2求解系统微分方程的经典法一．物理系统的模型•许多实际系统可以用线性系统来模拟。•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。二．微分方程的列写•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,如KCL，KVL。3例2-2-1电阻电感电容根据KCLiR(t)+iL(t)+iC(t)=is(t)代入上面元件伏安关系，并化简有这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。)()()(1)()(1)(tvdtdCtidvLtitvRtiCtLR求并联电路的端电压v(t)与激励is(t)间的关系。dttditvLdttdvRdttvdCs)()(1)(1)(224例2-2-2机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为f，外加牵引力为Fs(t)，其外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度v(t)间的关系可以推导出为这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。dttdFtkvdttdvfdttvdms)()()()(225三．n阶线性时不变系统的描述一个线性系统，其激励信号e(t)与响应信号r(t)之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。)()()()()()()()(1111011110teEdttdeEdttedEdttedEtrCdttdrCdttrdCdttrdCmmmmmmnnnnnn6齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为t≥0+时的方程的解，初始条件初始条件的确定是此课程要解决的问题。全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解Ak。求解方程时域经典法就是：齐次解+特解四．求解系统微分方程的经典法7几种典型激励函数相应的特解激励函数e(t)响应函数r(t)的特解)(常数E)(常数Bpt1121ppppBtBtBtBtetBetcostsintBtBsincos21tttpsinetttpcosetDtDtDtDtBtBtBtBtpppptppppsinecose112111218例2-2-3求齐次解（含重根）求微分方程的齐次解。系统的特征方程为特征根因而对应的齐次解为9)()(12)(16)(7)(2233tetrtrdtdtrdtdtrdtd3),(20)3()2(01216721223重根0)()()(33221teAeAtAtrtt101112131415161718§2.3起始点的跳变•电容电压的突变•电感电流的突变•冲激函数匹配法确定初始条件1920说明•对于一个具体的电网络，系统的0−状态就是系统中储能元件的储能情况;•一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：vC(0−)=vC(0+),iL(0−)=iL(0+).•但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，0−到0+状态就会发生跳变。•当系统用微分方程表示时，系统从0−到0+状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含δ(t)及其各阶导数项。2122232425三、冲激函数匹配法确定初始条件•当系统用微分方程表示时，系统状态0-到0+有无跳变，取决于方程右端是否包含(t)及各阶导函数。•当t=0时，微分方程左右两端的(t)及其各阶导数的系数应该平衡相等。•引入0-到0+的单位跳变函数u(t)在0点附近0)()()(tutt积分微分•应用拉氏变换法可以自动地把0-到0+初始状态的跳变包含进去。u(t)t026d23drtrttt例已知r(0-),求r(0+)分析：006rr右端含3(t)dr(t)/dt中必含3(t)r(t)中包含3(t）右端不含3(t)dr(t)/dt中必含-6(t)以平衡3r(t)中的6(t）dr(t)/dt中的-6(t）在r(t)中t=0时刻有-6u(t)ttrtrdtd32tt33t3t6t6tu62006rru(t)表示0-到0+的相对跳变函数27d23drtrttt由方程可知项，方程右端含ttrtdd它一定属于atrtbut223atbtcutatbutt006rrbtuctbtatrtdd设则代入方程得出所以得006rr即32020abacb6312bac即数学描述()(2)32abacbttutt或28例2-3-3(1)将e(t)代入微分方程，t≥0得用冲激函数匹配法求输入e(t)如图，已知描述LTI系统的微分方程为Otte242222d()d()d()d()710()64()ddddrtrtetetrtettttt4d(0-)(0-),05drrt++d(0)(0),drrt22d()d()710()2()12()8()ddrtrtrtttuttt29方程右端的冲激函数项最高阶次是(t)，因而有(2)22d()d()710()2()12()8()ddrtrtrtttuttt22d()()()()drtatbtcutt(d()()d)atrtbutt()()rtaut代入方程()()()7()()10()2()12()8()atbtcutatbutautttut)00(t30求得因而有欲求解的0+状态为27127108abacba--(0)(0)2d(0)d(0)2ddrrarrbtt--414(0)(0)255d(0)d(0)2+02ddrarrrbtt31§2.4零输入响应和零状态响应§2.4.1电容及电感的等效电路§2.4.2系统响应的划分和定义§2.4.3零状态响应和零输入响应323334r(t)=rzi(t)+rzs(t)=零输入响应+零状态响应rzs(t)是系统无初始储能，仅由e(t)作用的结果。1.按响应形式的不同r(t)=rh(t)+rp(t)=自由响应+强迫响应(齐次解)(特解)2.按响应过程的不同r(t)=rt(t)+rs(t)=暂态响应+稳态响应(transient)(steadystate)3.按响应产生原因的不同rzi(t)是e(t)=0，仅由系统初始储能引起的响应。一、全响应的几种分解形式自由响应强迫响应)()(1treAtrpnitii35二、rzi(t)与rzs(t)的经典法求解Azi,k仅与r(i)(0)有关，与e(t)无关。所以，Azi,k与Ak(自由响应的系数)不同。零输入响应只是齐次解的一部分，即rzi(t)只是自由响应中起始状态产生的部分。•令e(t)=0，得到齐次方程，求出齐次通解•根据初始条件确定待定常数Azi,k1.rzi(t)的经典法求解ktkzizikeAtr,)(36itizspzsieCtrtr,令e(t)=0，得到齐次方程，求出齐次通解;根据e(t)的形式求出任一特解；根据零初始条件确定待定常数Czs,irzs(t)包含两部分激励产生的强迫响应；初始条件的改变产生的部分自由响应零输入响应零状态响应,,())(iitziitiizsipCCeretrt全响应2.rzs(t)的经典法求解371,221(1)求rzi(t)(2)求rzs(t)例tzitzizieCeCtr2,21,由初始条件求待定系数2,1,2,1,200ziziziziCCrCCr212,1,ziziCC0,22teetrttzi12212,21,tteCeCtrtzstzszs由0000rr102,1,ziziCC求出1221ttetrtzs221221tttretetettrzitrzstrhtrp12221ttteet)()()(0)0('1)0()(2)(3)(222trtrtrrrtttrdttdrdttrdzszi求38举例说明1.零状态响应，vC(0)=02.零输入响应，e(t)=03.全响应RCe(t)+-+-vc21RC),()1()(),()(2tuetrtutetzs则若),()1(5)(),(5)(2tuetrtutetzs则若),(2)(,2)(22tuetrtutzi则若),(52)(,52)(22tuetrtutzi则若),(2)()1()(,2)(),()(2212tuetuetrtututett则若)(5)(2)()1(5)(,2)(),(5)(12222trtuetuetrtututett则若39响应的可分解性零输入响应与初始状态呈线性零状态响应与激励呈线性由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的:有时只关心零状态响应，可用卷积法求解。LTI系统h(t)(t)h(t)LTI系统h(t)e(t)rzs(t)zs()()()d()()rtehtetht40[例2-4-1]已知一LTI系统,在相同初始条件下,当激励为e(t)时，其全响应为r1(t)=[2e-3t+sin(2t)]u(t)；当激励为2e(t)时，其全响应为r2(t)=[e-3t+2sin(2t)]u(t)；t00，为实数。(2)初始条件增大1倍，当激励为0.5e(t)时的全响应r4(t)(1)初始条件不变，当激励为e(t-t0)时的全响应r3(t)；求：410zi33()300zs0()3()sin(2()(-)2)()tttrteutetturtrtttt设零输入响应为rzi(t)，e(t)作