信号与系统三四单元总结1

信号与系统-------------三四五单元总结2012051306刘冰第三章一、LTI系统对复指数信号的响应1、一个LTI系统对复指数信号的响应也是一个复指数信号，不同的是在幅度上变化2、连续时间：ststeSHe离散时间：nnzzHz3、H(S)、H（z）复振幅因子4、stenz——LTI系统的特征函数复振幅因子H(s)，H(z)——系统的特征值5、连续时间离散时间输入ktskkeatxknkkzanx输出tskkkkesHatynkkkkzzHany6、s=jω，z=je时，即分别以tje、nje为基函数————傅立叶分析二、连续时间周期信号的傅里叶级数表示1、成谐波关系的复指数信号的线性组合成谐波关系的复指数信号集：tTjktjkkeet/20k=0，2,1，其线性组合：也是周期的，基波周期02T1k的两项基波频率为——基波分量或一次谐波分量Nk的两项基波频率为——N次谐波分量上式即为周期信号的傅立叶级数2、-------分析公式-------综合公式傅立叶级数系数/频谱系数，常为复数反映x（t）中每一个谐波分量的相对大小直流分量三、傅里叶级数的收敛A、一个周期内能量有限的信号,即就能保证ak是有限值B、狄里赫利条件：20()Tjktjktkkkkxtaeae202011()()()TTjktjktkTTTTjktjktkkkkaxtedtxtedtxtaeaeka10()TTaxtdt2()Txtdt条件1：在任何周期内，x(t)绝对可积，即条件2：在任意有限区间内，x(t)具有有限个起伏变化.条件3：在x(t)的任何有限区间内，只有有限个不连续点，且在不连续点上函数值有限满足这组条件的信号x(t)，在连续点上x(t)的值等于其傅立叶级数表示，而在不连续点上，傅立叶级数收敛于不连续点两边值的平均值4、傅里叶函数的近似A、用有限项的线性组合组合来表示原信号按均方误差最小准则，得傅立叶级数系数与无限项组合的系数相同，且与所取项数目无关B、吉伯斯现象：存在“超量”，且与项数无关项数M越大，越接近原信号：上升沿和下降沿越来越陡，峰值位置越接近原信号的不连续点——含有更多的高频分量四、连续时间傅里叶级数性质1、线性若x(t),y(t)周期均为T,2、时移若3、时间反转若则偶函数奇函数4、时域尺度变换周期改变：x(t)周期为T，则(为正实数)周期为傅立叶系数没有改变，但傅立叶级数表示改变，因基波频率改变5、相乘若x(t)、y(t)周期都为T，且则乘积的周期仍为T，且有：（卷积）6、共轭及共轭对称性若则实信号实偶信号ak=a-k=ak*实奇信号ak=-a-k*()TxtdttjkMMkkeatx0~~)(TtjkkdtetxTa0)(1~)(~tx)(~tx()FSkytb()FSkxta()()()FSkkkZtAxtBytAaBbC000()jktFSkxttea()FSkxtakaFStx)(()FSkxtakkaakkaaT()xt0()()jktkkxtae()()FSFSkkxtaxta()FSkytb()FSkxta()()FSklkllxtythab**()FSkxta()FSkxta*kkaa7、连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理——k次谐波的平均功率物理意义：总平均功率=所有谐波的平均功率之和五、离散时间周期信号的傅里叶级数表示1、成谐波关系的复指数信号的线性组合周期信号：x[n]=x[n+N].基波频率考虑（1）谐波信号（2）只有N个信号是不同的的线性组合：N表示仅需在连续N个整数上取值-----离散时间傅立叶级数-----傅立叶级数系数/频谱系数六、离散时间傅里叶级数性质1、相乘周期卷积2、一次差分x[n]-x[n-1]3、离散时间周期信号帕斯瓦尔定理周期信号的平均功率=所有谐波分量平均功率之和七、傅里叶级数与LIT系统221()kTTkxtdta022211jktkkkTTTTaedtadta20N20()[]0,1,2Njknjknkneek20[][]NjknjknkkkkkNkNkNxnanaeae[]knka202011[]3.94[][]3.95NNjknjknkkkNkNjknjknkNNnNnNxnaeaeaxnexne[][][][]FSkFSklklFSlNkxnaxnyndabynb2[][1](1)TjkFSkxnxnea[]FSkxna221[]kNnNkNxnaLTI系统输入输出特征值（系统函数）连续离散频率响应A、连续时间，输入x(t)为周期信号：LTI系统单位冲激响应h(t),则输出：B、离散时间，输入x[n]为周期信号，LTI系统单位冲激响应h[n]，则输出：结论：对LTI系统，若输入是周期的，则输出也是周期的，且周期相同；输出的傅立叶级数系数=输入的傅立叶级数系数•对应频率点上的频率响应值或第四章一一、非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换1、非周期信号傅里叶变换的导出得傅里叶变换对：反变换（综合公式）傅里叶变换（积分）成为x（t）的频谱2、有限持续期信号（对应频谱）经周期延拓，得周期信号（对应频谱系数）与的关系即可利用的等间隔采样求得，采样间隔=3、傅里叶级数的收敛1平方可积/能量有限2狄里赫利条件(123)若引入冲激函数，则又扩大至非绝对可积，又非平方可积的无限持续期内的信号4、傅里叶变换模和相位的表示A、通常傅氏变换为复数值：实部与虚部；模与相位模—相表示：[]nxnz()()sHshed()()stytHse()stxte()[]kkHzhkz[]()nynHzz()()()[]jtjjjnnsjHjhtedtzeHehne0()jktkkxtae00()()jktkkgtaHjke2[]NjknkkNxnae22[]()NNjkjknkkNynaHee0()jkHe0()HjkdejXtxtj)(21)(dtetxjXtj)()()(jX)(jXka)(jXka0)(1kkjkXTa2oT)(jXkajjejXjXB、x(t)是不同频率的复指数之和描述了组成x(t)的各复指数信号的相对振幅——幅度谱提供了这些复指数信号的相对相位——相位谱，对x(t)的属性具有显著影响5、常见信号的傅里叶变换A、单边指数信号，a0，a为实数幅度谱相位谱B、双边指数信号，0实偶函数也为实偶函数C、单位冲激函数时间域无限窄，频率域无限宽D、矩形脉冲信号----和周期方波傅氏级数的关系E、傅里叶变换对偶性dejxtxtj21jXj()()atxteut0110)(ajaejatja0()atjtXjeedtajarctan)(221)(ajX222)(jXtetx)()(jX)(tx()()1jtXjtedt()()xtt1()0xt11||||tTtT)(2)sin(2)(11111TSaTTTTjX)(2)sin(101101010TkSaTTTkTkT1112sin()()TjtTTXjedt()xj01T2T11T-T1T1xt11()()22WjtjWtjWtWxtedeejt1()0Xj||||WWsin()()Wtxtt0-1-2-32131★sa函数sinc函数二、连续时间傅里叶级数性质1、线性2、时移3、时间与频率的尺度变换推论物理现象解释：磁带快放，音调高？时域与频域的相反关系：①增加周期，频率下降②频带w宽，时间持续短4、共轭及共轭对称性推论：对于实函数x(t)，①②的实部和模是ω的偶函数；虚部和相位是ω的奇函数。③x(t)实偶，则也为实偶；x(t)为实奇，则为虚奇。④实函数x(t)的偶部对应的实部；奇部对应于的虚部。5、微分与积分6、对偶性sin()sin()csin()xsaxxaXjbYjaxtbyt0jteXj0xtt1jXatXaaXtXj**XtXj()Xj()Xj*XjXj()Xj()Xj()XjdxtjXjdt10tXdXjXjw0wt2()xtw-T1T11Xt1-2xj12T01T1()xj1T221sin0wwtXtXjwt1111112sin0tTTXtXjtT★时间函数有某些特性→对应频域的某些特性时域存在对偶的特性→频率函数有同样的特性频域微分频移频域积分7、帕斯瓦尔定理时域能量=频域能量，称为x(t)的能谱密度三、卷积性质即h(t)的傅立叶变换，称为LTI系统的频率响应可在频域控制输入的傅立叶变换复振幅的变化称为系统的增益称为系统的相移幅度和相位的改变---失真★LTI系统存在频率响应的条件：若一个LTI系统是物理上或实际上有意义的，且是稳定的，那么其一定存在频率响应可利用方便的定义某些系统，如滤波器等四、相乘性质应用：幅度调制——s(t)调制p(t)的振幅五、周期信号的傅里叶变换dXjjtxtd00jtextXj10xtxtxdjt2212xtdtXjd()()*()ytxthtHjXjjtHjhtedtjXjHjYjHjXjHjejXjHjHHjHj1*2rtstptRjSjPjSjA11Pj0000010101102ARj引入冲激函数,则傅氏变换收敛范围扩大至非绝对可积,又非平方可积的无限持续期内的信号-周期信号设周期信号x(t)可表示为:dteeajXtjtjkkk0=即周期信号的傅里叶变换为出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数,面积为2πak六、由线性常系数微分方程表征的LTI系统第五章一、频率响应的模和相位表示称为系统的增益称为系统的相移——改变输入信号中各分量之间的相对相位关系二、线性与非线性相移1、线性相移线性相位结论:线性相移←→输出为输入的时移，斜率＝-时移2、非线性相移【307页例子】3、群时延A、将延时概念推广到非线性相位特性的情况：设LTI系统的输入为一个带限信号，的中心频率为若的频带足够小，则该系统的相位特性在此频带内可用线性关系表示：因此有：B、该系统对于的影响：幅度—乘以相位：乘以恒定项和线性相移项称为在的群时延()ojktkkxtae0