信号与系统第4章,甘俊英.

4.1引言第4章连续时间信号与系统的傅里叶分析连续时间LTI系统的时域分析，以冲激函数为基本信号，连续时间LTI系统的任意输入表示成延时冲激函数的加权积分，从而导出了系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积的结论，得到了用卷积积分求解系统零状态响应的方法。本章以正弦函数(正余弦函数统称为正弦函数)或复指数函数作为基本信号，以系统对正弦函数或复指数函数的信号响应(称为系统的频率响应)为基本响应，系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分。4.1引言第4章连续时间信号与系统的傅里叶分析把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量的加权和称为信号的频谱分析，简称信号的谱分析。用频谱分析的观点来分析系统，称为系统的频域分析，或傅里叶分析。系统的时域分析方法将连续时间LTI系统的输入信号表示成冲激函数积分和的形式，这章介绍方法把输入信号分解为复指数信号集合，根据线性系统的叠加性求得LTI系统对这些复指数信号零状态响应的线性组合。这就是频域分析法，又称傅里叶变换分析法。傅里叶分析法将信号等效于一个频谱函数，系统等效于一个频率响应，系统对信号起频谱变换作用。第4章连续时间信号与系统的傅里叶分析4.1引言(1)频域分析法易推广到复频域分析法，同时可以将两者统一起来；(2)利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调制等许多实际问题，并可获得清晰的物理概念；(3)连续时间系统的频域分析为离散时间系统的频域分析奠定了坚实的基础。频域分析法在系统分析中极其重要，并不仅仅是它简化了求解微分方程的过程，主要是因为：4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开)()(nTtftf对于任意周期信号，有4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开周期信号有如下特点：（1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间范围为。（2）当在一个周期内的信号确定后，若将其移动T的整数倍，则信号的波形保持不变。周期信号可以看成是将一个在周期内所定义的信号作周期性延拓而形成，一个周期内的信号可以看成在任意周期截取得到。如果将周期信号第一个周期内的函数写成，则周期信号可以写成（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——三角形式傅里叶级数式中各正、余弦函数的系数称为傅立叶系数。nnba,4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——三角形式傅里叶级数根据正交函数展开理论，容易得到傅立叶系数公式如下式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取或TttttfTa00d)(10TttnttntfTa00d)cos()(20TttnttntfTb00d)sin()(204.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——三角形式傅里叶级数)cos()sin()cos(000nnnntnAtnbtna100)cos()(nnntnAAtf两种形式之间系数有如下关系或AaAabnbannnnn002212arctgn,,aAaAnbAnnn0012cos,,sinnnn转换成另一种形式为：4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——三角形式傅里叶级数根据上面的傅立叶级数展开，有如下概念：直流分量：指中的基波：指中的二次谐波：指中的依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为直流分量、基本分量以及各次谐波分量之和。4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——三角形式傅里叶级数例4-2-1：t)(tf11T2/T0将周期方波信号展开成三角形式的傅里叶级数。)(tf0d)(100TttfTaan0531=4642=0)cos1(2cos12)cos(12dsin)1(2dsin)1(2dsin)(220020002020000，，，，，，nnnnntnnTtnnTttnTttnTttntfTbTTTTTTTn]sin15sin513sin31[sin4)(0000tnnttttf531，，，n4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——三角形式傅里叶级数ttttttf01sin4)()3sin31(sin4)(002tttf)5sin513sin31(sin4)(0003ttttf1000004111()(sinsin3sin5sin19)3519fttttt(a)(b)(c)(d)2000022222224.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——三角形式傅里叶级数周期信号用傅里叶级数表示时，理论上需要无限多项才能逼近原波形。如果用有限项来逼近，则称为部分和。如果截取－N～N项，此时函数用表示。从图中可以看出，在不连续点附近，部分和有起伏，其峰值几乎与N无关。随着N的增加，部分和的起伏就向不连续点压缩，但是对有限的N值，起伏的峰值大小保持不变而趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9％，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象叫吉伯斯(J.Gibbs)现象。为了消除Gibbs现象，在取有限项傅里叶级数的时候可加平滑谱窗进行处理。4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——复指数形式傅里叶级数周期信号，周期为，角频率ft()T0022fT式中称为傅立叶系数，是复数。nF该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。ftFnntn()ej010=de)(122j0，，nttfTFTTtnn4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——复指数形式傅里叶级数结合三角函数傅里叶级数展开形式，可以得到1jj01jj0)ee()e2je2j()(0000ntnntnnntnnntnnnFFFbabaatf4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——复指数形式傅里叶级数nnnnnnnnnnFbaFFbaFaFjj00e)j(21e)j(21可以得到傅里叶级数系数与三角函数傅里叶级数系数的关系4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——复指数形式傅里叶级数复指数形式傅里叶级数中出现的负频率分量只是一种数学表达形式，没有确切的物理含义。实际上，复指数形式傅里叶级数的正、负频率分量总是共轭成对地出现，一对共轭的正、负频率分量之和才能构成一个物理上的谐波分量，即)cos(2eeeeee0jjjjjj0000nntnntnntnntnntnFFFFFnn三角形式傅里叶级数和复指数形式傅里叶级数实质上是同一级数的两种不同表现形式。三角形式傅里叶级数物理含义比较明确，复指数形式傅里叶级数表示式比三角形式傅里叶级数表示式紧凑，便于运算。今后将经常用到复指数形式傅里叶级数。4.2周期信号的傅里叶级数4.2.1周期信号的傅里叶级数展开——复指数形式傅里叶级数tA)(tfTT22……例4-2-2：图示周期矩形脉冲信号展成复指数形式傅里叶级数000jj022022sin()112()eded=Sa()22TntntTnnnAAFfttAtnTTTT00jj0=-()eSa()e2ntntnnnnAftFT4.2周期信号的傅里叶级数4.2.2周期信号的傅里叶级数展开——周期信号的频谱复指数形式的傅立叶级数中，分量的形式是Antnncos()0tnjntnneeFFn00jje在傅立叶分析中，把各个分量的幅度或随频率或角频率的变化称为信号的幅度谱。FnAn0n而把各个分量的相位或随频率或角频率的变化称为信号的相位谱。0nnn傅里叶级数展开，说明周期信号是一系列相互正交的正弦信号或复指数信号分量的加权和。三角形式的傅立叶级数中，分量的形式是：4.2周期信号的傅里叶级数4.2.2周期信号的傅里叶级数展开——周期信号的频谱三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱，而指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱。幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。由此可见，周期信号的频谱实际上就是它的直流、基波、以及各个谐波分量的幅度和相位随频率的分布情况，或者说是它的各种频率分量的分布情况。知道了信号的频谱，也就知道了原来的信号本身，信号的频谱是信号的另一种表示，信号的频谱提供了从另一个角度来观察和分析信号的途径。为了把周期信号具有的分量以及各分量的特征形象地表示出来，可以采用图示的办法，相应的也称为幅度谱和相位谱频谱图。4.2周期信号的傅里叶级数4.2.2周期信号的傅里叶级数展开——周期信号的频谱0n0nnAnF000020020201F0F2F1F2F0A1A2A单边谱双边谱a0nn0002120n0002020bcn12d12幅度谱幅度谱相位谱相位谱00000101202-jj-j2j201122()cos()cos(2)=eeeettttftAAtAtFFFFF00AFFA1121ejFA1121e-jFA2222ej2j-22e2AF4.2周期信号的傅里叶级数4.2.2周期信号的傅里叶级数展开——周期信号的频谱信号的频谱是一个非常重要的概念，对系统而言还引申出了频率响应的概念，并由此发展了信号与系统分析的另一种非常重要的方法，即频域分析方法，这些概念和方法的掌握对后续课程的学习，比如自动控制原理、数字信号处理、通信原理等课程的学习都是至关重要的。一般来说，一个周期信号的傅里叶系数，或者说它的频谱跟信号的波形有如下关系：(1)傅里叶级数所取项数愈多，相加后波形愈逼近原信号；(2)当信号是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部，波形变化愈剧烈，包含的高频分量愈丰富；变化愈缓慢，包含的低频分量愈丰富；(3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。4.2周期信号的傅里叶级数4.2.2周期信号的傅里叶级数展开——周期信号的频谱FATnnSa()02周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为它的频谱图如右图所示0nF2240n(a)02240n(b)n若把相位为零的分量的幅度看作正值，而把相位为的分量的幅度看作负值，那么左图即可合二为一，如下图所示nF200n244.2周期信号的傅里叶级数4.2.2周期信号的傅里叶级数展开——周期信号的频谱一般来说，周期信号频谱有如下三个显著的特点。(1)离散性—谱线是离散的而不是连续的；因此称为离散频谱。单边谱中一条谱线代表了一个谐波分量，而双边谱中左右对称的两条谱线代表了一个谐波分量。离散频谱中每个频率分量在频谱图中都是用一根线来表示，所以有时又称为线谱。(2)谐波性—谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍，其实谐波性已经说明了离散性。(3)收敛性—谱线幅度随而衰减到零n4.2周期信号的傅里叶级数4.2.2周期信号的傅里叶级数展开——周期信号的频谱在右图中，连接各谱线顶点的曲线称为谱线包络线，它反映了各分量的幅度变化情况。如果把按抽样函数规律变化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰和山谷，其中最高峰称为主峰。通常把包含信号主要频谱分量的这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效频带宽度或带宽，即矩形