信号与系统第六章.

1第五章回顾通过对DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在CTFT中都有相对应的结论，而且它们也存在一些重要的差别，例如DTFT总是以2π为周期的与第4章平行，第5章地讨论了DTFT，讨论基本思路和方法与第4章完全对应，得出类似结论2对偶性的讨论为进一步认识连续时间信号、离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几种工具之间的内在联系，提供了重要的理论根据。深入理解并恰当运用对偶性，有助于掌握CFS、DFS、CTFT、DTFT间的关系通过卷积特性的讨论，对LTI系统建立了频域分析的方法。同样地，相乘特性的存在则为离散时间信号的提供了传输技术理论基础3可以将对偶关系归纳为如下图表:katx)(离散连续、周期、非周期连连续、非周期续、非周期)(2)()()(xjtXjXtx)()(jeXnx离散连、非周期续、周期)2(1kTjXTak)(12kNjkeXNa)()(jDTFTeXnx)()(kxeXCFSjt()kxna离离散、周期散、周期1()naxkN连续时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数连续时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换4随着今后进一步的讨论，我们可以看到CFS、DFS、CTFT、DTFT之间是完全相通的与连续时间LTI系统一样，对由LCCDE或由方框图描述的LTI系统，可以由系统的频率响应函数，来进行系统的频域分析。其基本过程与连续时间LTI系统的情况也完全类似()jHe5本章主要内容傅立叶变换的模与相位LTI系统的幅频特性与相频特性，系统的失真系统的不失真传输条件理想滤波器的频域、时域特性及其不可实现性非理想滤波器的特性及其逼近方式一阶与二阶系统的分析方法，Bode图第6章信号与系统的时域和频域特性6在时域，系统的特性由或描述在频域，系统的特性由或描述工程中设计系统时，往往会对系统的特性从时域角度或频域角度综合考虑6.0引言Introduction()Hj()jHe对系统描述()ht()hn7本章的基本内容旨在建立对系统的时域和频域特性进行综合分析的思想和方法系统的时域特性与频域特性是相互制约的(时频具有相反的关系)。在进行系统的分析与设计时，要权衡考虑系统的时域与频域特性在LTI系统分析中，由于时域中的微分(差分)方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，所以利用频域分析往往特别方便86.1傅里叶变换的模和相位表示无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现为一个复函数()()()jXjXjXje()()()jjjjXeXeXee一个信号所携带的全部信息分别包含在其频谱的模和相位中（TheMagnitude-PhaseRepresentationoftheFourierTransform）失真变化模：频率成份幅度相位：频率起始位置9在工程实际中，不同的应用场合，对幅度和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同的技术指标要求信号失真：1.幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。各频率分量幅度产生不同程度的衰减2.相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化10拼音“a”相位保持模为1模保持相位为0声音11图像相位保持，模为1的图像原始图像模保持，相位为0的图像()(,)(,)xyjxyxyFjjfxyedxdy二维傅里叶变换()212(,)(,)xyjxyxyxyfxyFjjedd二维傅里叶逆变换126.2LTI系统频率响应的模和相位表示LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面:1.改变输入信号各频率分量的幅度2.改变输入信号各频率分量的相对相位（TheMagnitude-PhaseRepresentationoftheFrequencyResponseofLTISystems）()()()YjXjHj()()()jjjYeXeHe()|()||()|YjXjHj()()()YjHjXj13一.线性与非线性相位波形未变仅有时延无失真若C为整数，时域为时移其他无定义信号通过一系统产生的相位变换=该系统的()Hj0()Hjt线性相位，否则非线性相位0()()ytxtt则0()()jtHje对连续时间LTI系统：()()jjCHee对离散时间LTI系统：14相位产生线性和非线性相移，时域信号变化2812011()20Hj22()20Hj11()20Hj22()15Hj15二.信号的不失真传输条件0()()ytkxtt0()()ynkxnn0()jtHjke0()jnjHeke如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视为在传输中未发生失真这就要求系统的频率特性为全通系统：幅频特性是一个常数模是常数16)()(0ttkth——时域表征据此可得出信号传输的不失真条件：0|()|,()HjkHjt0|)(|jH不失真系统：系统在被传输信号的带宽范围内满足不失真条件0(),jtHjke——频域表征0()Hj17三.群时延（GroupDelay）系统的相位特性：信号的各个频率分量在通过系统时，系统对它所产生的附加相移。()()dHjd非线性相位，定义群时延为线性相位相位特性的斜率：该频率分量在时域产生的时延很窄的频带内的有效公共延时18系统：非线性相位的系统1.由引起的幅度成形|()|Hj系统对输入信号的影响：()()|()|jjYjXjHjee0输入信号：中心频率为的窄带信号系统在窄带内的相位变化近似看成线性的2.：系统在的恒定相位影响因子0je3.：系统在窄带内的近似线性相位。在0的群延时19四.对数模与Bode图Bode图：采用对数模特性来描述系统的频率特性。模特性：相乘相加频谱特性：展示更宽频谱特性，低频端详细，高频端粗略模特性和相位特性：方便建立直线型渐近线工程中广泛应用的有两种对数模：ln()lgHj单位：奈培（Np）20lg()lgHj单位：分贝（dB）（decibel）20对离散时间系统，有效频率范围,不采用对数坐标，只采用对数模。2Bode图不适用于幅频特性有零点或在某些频段上为零的系统两点需要注意的问题：216.3理想频率选择性滤波器1.频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）（TheIdealFrequency-SelectiveFilters）一.滤波通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。滤波器可分为两大类：22二.理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（passband），完全不允许信号通过的频段称为阻带（stopband）。23连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性低通cc01高通cc01带阻011122带通01112224离散时间理想频率选择性滤波器的频率特性高通-1cc2c低通21-cc2c带通-011122带阻-1112225各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。离散时间理想滤波器的特性在区间上，与相应的连续时间滤波器特性完全相似。三.理想滤波器的时域特性以理想低通滤波器为例()Hjcc1,0,连续时间理想低通滤波器1()Hjcc26由傅里叶变换可得:1sin()Sa()2ccjtcccthtedtt27对离散时间理想低通滤波器有：sin()Sa()cccnhnnn28如果理想低通滤波器具有线性相位特性则sin()()Sa()()cccthttt()Hj,||jce0,||c()htt/c29理想低通滤波器的单位阶跃响应()()*()sthtutsin1sincttccctxdtdxtx001sin1sinctxxdxdxxx0sinSi()xdx令正弦积分30,Si();,Si()22Si(0)0xxxx已知1111()[Si()]Si()Si()2ccstttt()st312．阶跃响应的上升时间tr与滤波器的截止频率B（带宽）成反比。r1Btrcπ12tBcc2πBfB是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。1．上升时间tr：输出由最小值到最大值所经历的时间0πct最大值位置：0πct最小值位置：0t为系统延迟时间1sttO210trtcπcπ如果理想低通滤波器具有线性相位特性，则32对离散时间理想低通滤波器，相应有：11()Si()2csnn从理想滤波器的时域特性可以看出：333.在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必须对时域特性和频域特性作出恰当的折中1.理想滤波器是非因果系统。因而是物理不可实现的()ht()hn2.尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最佳的或都有起伏、旁瓣、主瓣，这表明理想滤波器的时域特性与频域特性并不兼容346.4非理想滤波器（TheNonidealFilters）对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价越大，系统的复杂程度也越高由于理想滤波器是物理不可实现的，工程应用中就必须寻找一个物理可实现的频率特性去逼近理想特性，这种物理可实现的系统就称为非理想滤波器非理想滤波器的频率特性以容限方式给出3512非理想滤波器特性1.通带绝对平坦，通带内衰减为零理想滤波器特性2.阻带绝对平坦，阻带内衰减为通带内允许有起伏，有一定衰减范围3.无过渡带阻带内允许有起伏，有一定衰减范围有一定的过渡带宽度36通常将偏离单位增益的称为通带起伏（或波纹），称为阻带起伏（或波纹），称为通带边缘，为阻带边缘，为过渡带。12spsp非理想低通滤波器的容限37它们都从幅频特性出发逼近理想低通的模特性。工程实际中常用的逼近方式有：1.Butterworth滤波器：通带、阻带均呈单调衰减，也称通带最平伏逼近；2.Chebyshev滤波器：通带等起伏，阻带单调，或通带单调阻带等起伏；3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器）通带、阻带均等起伏。382.包络时延Chebyshev滤波器：包络时延等起伏逼近；对同一种滤波器，阶数越高，对理想特性逼近得越好，过渡带越窄，但付出的代价是系统越复杂。从相位特性出发，逼近理想的线性相位特性有1.Bassel滤波器：群时延最平伏逼近；3.Gauss滤波器。39对同样阶数的滤波器，从ButterworthChebyshevCauer，其幅频特性逼近得越来越好，但阶跃响应的起伏、超量和振荡也越厉害（体现了系统频域特性与时域特性的不兼容）。系统的复杂程度也越来越高，相应地，实现系统所付出的代价也越来越大。405阶Butterworth滤波器与5阶Cauer滤波器的比较41单位阶跃响应：426.5一阶与二阶连续时间系统00()()()()()MkkkNkkkbjBjHjAjaj对由LCCDE描述的连续时间LTI系统，其频率响应为：（First-OrderandSecond-OrderContinuous-TimeSystems）kakb其中：、均为实常数。43此时，可通过对、因式分解，将其表示成若干个一阶或二阶有理函数的