信号与线性系统-第二章(3rd)

第二章LTI连续系统的时域分析本章重点:.微分算子方程.传输算子H(p).冲激响应h(t)—意义、求法、应用.卷积积分求零状态响应难点:卷积积分的积分限确定第二章LTI连续系统的时域分析§2–1系统的微分算子方程与传输算子一、微分算子、积分算子与微分算子方程:引入如下算子：微分算子:tpdd积分算子:tpp1d)(1)()(dd)(tfptfttf则：)()(dd)()(tfptfttfnnnn)()(1d)(1tfptfpft对于微分方程)(4d)(d)(6d)(d5d)(d22tfttftyttytty算子形式)(4)()(6)(5)(2tftfptytyptyp微分算子方程：)()4()()65(2tfptypp它是微分方程的一种表示，含义是在等式两边分别对变量y(t)和f(t)进行相应的微分运算。形式上是代数方程的表示方法。微分算子的运算性质：性质1以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。)()4()()3)(2(tfptypp性质2设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则)()()()()()(tfpApBtfpBpA如：)()4()()2)(3(tfptypp性质3微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。例如：py(t)=pf(t)y(t)=f(t)+c(c为常数)y(t)=f(t)2(56)()(4)()ppytpft)()()()()()()()(tfpBpAtfpBpDpApD)()()()()()()()(tfpBpAtfpDpBpDpA但是：)(d)(dd)(1tffttfppt)()()(d)(dd)(1tfftfftfppt例如：函数乘、除算子p的顺序不能随意颠倒，对函数进行“先除后乘”算子p的运算时，分式的分子与分母中公共p算子(或p算式)才允许消去。性质4设A(p)、B(p)和D(p)都是p的正幂多项式二、LTI连续系统的算子方程与系统的传输算子电路元件伏安关系(VAR)的微分算子形式称为算子模型，电压、电流比为算子感抗和算子容抗元件名称电路符号u~i关系(VAR)VAR的算子形式算子模型电阻电感电容电路元件的算子模型i(t)R)(tui(t)R)(tui(t)L)(tu)(tui(t)1/pC)(tui(t)Ci(t)pL)(tuttiLtud)(d)(tdiCtu)(1)()(1)(tipCtu)()(tiRtu)()(tiRtu)()(tipLtu电路系统微分算子方程的建立方法:LpL;C1/pC画出算子模型，按照电路理论中的列写方程方法列写。例1：电路如图(a)所示，激励为f(t)，响应为i2(t)。试列写其微分算子方程。(a)1+f(t)-i153Fi22H4H1+f(t)-i1513pi22p4p(b)i1i2解：画出其算子模型电路如图(b)所示。由回路法可列出方程为：0)()5431()(31)()(31)()3121(2121tipptiptftiptipp化简微分方程组时要考察电路的阶数以便确定公共因子是否可消去。化简后所求微分算子方程为：)()()27148(3223tftippp对于激励为f(t)，响应为y(t)的n阶LTI连续系统，其微分算子方程为：)()()()(01110111tfbpbpbpbtyapapapmmmmnnn将其在形式改写为)()()()(01110111tfpHtfapapapbpbpbpbtynnnmmmm)()()()()(01110111pDpNapapapbpbpbpbtftypHnnnmmmm式中：它代表了系统将激励转变为响应的作用，或系统对输入的传输作用，故将H(p)称为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子系统传输算子与系统微分算子方程是对系统的等价表示。它们之间可以转化。例2.求i1(t)对f(t)的转移算子，及i1(t)对f(t)的微分方程。1f(t)31F1Hi11f(t)31/ppi1(1)(2)解：画出其算子模型电路，列出节点方程0)11()(1)()(1)()131(2121）（tupptuptftuptup)(44)1(3)(221tfpppptu)(4413)()(2211tfpppptuti441)(22pppppH)(d)(dd)(d)(4d)(d4d)(d2211212tfttfttftittittii1(t)对f(t)的转移算子为：i1(t)对f(t)的微分方程为：)()1()()44(212tfpptipp又§2–2LTI连续系统的零输入响应LTI的全响应可作如下分解：y(t)=零输入响应yx(t)+零状态响应yf(t)一、系统初始条件(2)求系统的0-状态值uC(0-)、iL(0-)；(3)由换路定律得到uC(0+)、iL(0+)，结合系统0+瞬时的等效电路求得电路的各个电气量的初始值。(1)若所给电路结构和参数在换路前后不发生变化(即没有开关时)，则由系统的0-状态值与0-瞬时的零输入系统求得初始条件yx(j)(0-),j=0,1,2,…,n-1，否则由(2)(3)两步进行求解。二、通过系统微分算子方程求零输入响应零输入下LTI连续系统的微分算子方程为:0)()(x0111tyapapapnnn激励为f(t)，响应为y(t)的n阶LTI连续系统，其微分算子方程为：)()()()(01110111tfbpbpbpbtyapapapmmmmnnn要使上式成立，需满足D(p)=0，即00111apapapnnn称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。针对特征根的两种情况来求yx(t)2．特征根含有重根设特征根p1为r重根，其余特征根为单根，,,,,21nrrppp则yx(t)的通解表达式为：21x123111()()eee,0rrrnnrptptptytAAtAtAtAAt确定积分常数方法同前。共轭复根时,利用欧拉公式cost=0.5(ejt+e–jt)及sint=j0.5(e–jt–ejt)→实三角函数将yx(0-)、yx，(0-)、…、yx(n-1)(0-)代入上式，确定积分常数A1、A2、…、An。0,eee)(2121xtAAAtytptptpnn1．特征根为n个单根p1,p2,…,pn(可为实根、虚根或复根),则yx(t)的通解表达式为：3．求解零输入响应yx(t)的基本步骤：(1)通过微分算子方程得特征方程D(p)=0，求系统的特征根;(2)写出yx(t)的通解表达式;(3)由系统的0-状态值与0-瞬时的零输入系统求得初始条件yx(j)(0-),j=0,1,2,…,n-1。(4)将0-初始条件代入yx(t)的通解表达式,求得积分常数A1,A2,…,An。(5)写出所得的解yx(t)，画出yx(t)的波形。例3电路如图(a)所示，已知uC(0-)=1V，iL(0-)=-1A，求t0时的零输入响应uCx(t)。1H12FCuCi21R42RLiCuCi24LiP2P1解(1)画出算子模型电路,由节点法列出方程为0)()41212(tuPPcx化简可得:0)()65(x2tuppCuCx(t),V0t,s4130.51解得特征根:p1=-2，p2=-30,ee)(3221xtAAtuttCV1A124(2)0-瞬时的等效电路sV1)0(1)0(21)1(21)0(xxxCCCiC'ui343211212121AAAAAA代入初始条件.0,V34)(32xteetuttC例4.已知连续系统的输入输出算子方程及0-初始条件为：)0(ee1)(tttyttx求:系统的零输入响应yx(t),(t≥0)1)0(0)0()0()()1(13)('''2yyytfpppty0)1(2pp解：p1=0，p2=p3=-1tttptptpxtAAAtAAAtyeeeee)(321321321yx(t)的通解表达式：tttxtAAAtyee2e)(332''tttxtAAAtyeee)(332'对其求一阶、二阶导数：1111200321323221AAAAAAAAA代入初始条件：§2–3LTI连续系统的零状态响应一、零状态响应零状态LTI连续系统H(p))(tf)(tyf)()()()()()(tfpDpNtfpHtyf)()()()()(非齐次微分方程tfpNtypDf非齐次微分方程的解由通解和特解组成，f(t)的形式简单（直流、交流）特解还易确定，如形式复杂，则特解很难确定。一般情况下零状态响应可通过将f(t)分解为更为简单的单元信号，将各单元激励下的响应进行叠加来求解。信号的时域分解：23k)(tf0t)()(,,d0fkfk，时当ktfktkftfd)()()()(lim)(0级数和→积分：………()fk()f3()f2()f()f0()f用矩形脉冲逼近f(t)将f(t)分解为无穷多个宽度为的矩形脉冲信号之和(0)[()()]22()()22(0)fttttf()t(0)()ft)()(ktkf第k个门信号≈冲激函数kktkftf)()()(…第1个门信号任意信号可分解为无穷多个不同时刻出现的冲激强度为该时刻函数值的冲激信号之和()()()ftftd23k)(tf0t………()fk()f3()f2()f()f0()f用矩形脉冲逼近f(t)零状态响应的求解过程零状态LTI)(t)(th零状态LTI)(t)(th零状态LTI)()(tf)()(thf零状态LTIdtftf)()()(dthftyf)()()(冲激响应时不变性齐次性叠加性由上述过程可看出求解零状态响应可通过下列两步完成：（1）求单位冲激响应h(t)（2）求dthf)()(卷积积分()()ftht二、冲激响应h(t)h(t)定义：零状态LTIH(p))(t)(th)()()()()()()(01110111tapapapbpbpbpbtpDpNtpHthnnnmmmm通过多项式的长除法，H(p)可以化为某个多项式与一个有理真分式之和。233)22(2379972)(222234ppppppppppppH据D(p)的根的不同有理真分式H(p)可展开为不同的部分分式1．当D(p)有n个单特征根p1,p2,…,pn(可为实根、虚根或复根))())(()()()()(21npppppppNpDpNpHnnjjppKppKppKppK2211njpHppKjppjj,,2,1,)()()()()()()(2211tppKtppKtppKtppKthnnjj)