信号检测与估计2

第2章信号检测与估计理论的基础知识2.1引言2.2随机变量、随机矢量及其统计描述2.2.1随机变量的基本概念2.2.2随机变量的概率密度函数信号检测与估计理论22.2.3随机变量的统计平均量1.随机变量的均值2.随机变量的矩随机变量()xt的概率密度函数()px的分布曲线关于它的均值的倾斜程度用倾斜度(skewness)来表示。()xt的倾斜度与它的三阶中心距有关，如式（2.2.19）所示。随机变量()xt的概率密度函数()px的分布曲线在其均值x的高峰程度用峰度(kurtosis)来表示。()xt的峰度与它的四阶中心距有关，如式（2.2.20）所示。信号检测与估计理论33.随机变量的中值设随机变量()x的概率密度函数为()px，则将()px一分为二，各占1/2面积的分界点，称为随机变量()x的中值，又称为()x的中位数，记为x4.随机变量的众数设随机变量()x的概率密度函数为()px，则()px的峰值对应的x值，称为随机变量()x的众数，记为xv2.2.4一些常用的随机变量1.均匀分布随机变量图2.1均匀分布随机变量的PDF曲线2.高斯分布随机变量图2.2高斯分布随机变量的PDF曲线（0x）信号检测与估计理论4图2.3标准高斯分布随机变量的PDF曲线3.三角对称分布随机变量图2.4三角对称分布随机变量的PDF曲线图2.5三角对称分布随机变量的PDF曲线（0＜b＜a）信号检测与估计理论54.单边、双边指数分布随机变量图2.6单边指数分布随机变量的PDF曲线（β＞0）图2.7双边指数分布随机变量的PDF曲线（β＞0）5.瑞利（Rayleigh）分布随机变量信号检测与估计理论6图2.8瑞利分布随机变量的PDF曲线（21）6.广义瑞利分布随机变量（p(u)函数是归一化的广义瑞利分布概率密度函数）信号检测与估计理论7图2.9广义瑞利分布随机变量的PDF曲线（21）2.2.5随机矢量及其统计描述1.随机矢量的概念2.随机矢量的概率密度函数3.均值矢量和协方差矩阵4.统计独立性5.联合高斯随机矢量信号检测与估计理论8（如果各随机变量互不相关，则2.2.44变为2.2.45，表明各随机变量同时是相互统计独立的，进而如果各随机变量是独立同分布的，则2.2.45变为2.2.46）2.2.6随机变量的函数1.一维随机变量的情况2.N维随机矢量的情况2.2.7随机变量的特征函数1.随机变量特征函数的定义信号检测与估计理论92.特征函数的主要性质3.N个相互统计独立高斯随机变量之和的概率密度函数信号检测与估计理论10（2.2.67是假设各高斯随机变量是独立同分布的，各随机变量均值是xu，方差是2x）（2.2.69是各随机变量均值的特征函数，假设各高斯随机变量是独立同分布的，各随机变量均值是xu，方差是2x就得到公式2.2.70）4.随机变量的特征函数与原点矩之间的关系（2.2.76的来由：若将()x的()xG展开成泰勒级数，并利用2.2.75式的关系，则容易得到()x的()xG与()mxr的关系式为2.2.76式）信号检测与估计理论112.2.8随机矢量的联合特征函数121212112212()(,,,)1(,,,)exp()(2)NNxxxNNNNNpxpxxxGjxjxjxdxdxdx(2.2.79)121212(,,,)()()()NNxxxNxxxGGGG(2.2.80)2.3随机过程及其统计描述2.3.1随机过程的概念和定义1.随机过程的基本概念2.随机过程的定义2.3.2随机过程的统计描述信号检测与估计理论12图2.10连续随机过程x（t，ζ），t∈T，ζ∈Ω的M个样本函数图形2.3.3随机过程的统计平均量1.随机过程的均值2.随机过程的均方值信号检测与估计理论133.随机过程的方差4.随机过程的自相关函数5.随机过程的自协方差函数6.随机过程的互相关函数7.随机过程的互协方差函数信号检测与估计理论142.3.4随机过程的平稳性（***）1.随机过程平稳性分类2.严格平稳与广义平稳随机过程的关系3.平稳随机过程的统计平均量（方差，自相关，自协方差，2x表示均方值)4.联合平稳随机过程及其统计特性信号检测与估计理论152.3.5随机过程的遍历性1.时间平均量2.各态遍历的随机过程3.随机过程的平稳性和遍历性的关系如果随机过程()xt具有均值和自相关函数的遍历性，则其时间平均值()xt为常数，时间自相关()()xtxt与时间间隔有关，所以遍历过程一定是平稳过程，但并非所有的平稳过程都是遍历的。这是从理论上讲的。实际上，几乎所有的平稳过程都是各态历经的。信号检测与估计理论162.3.6随机过程的正交性、不相关性和统计独立性1.定义2.关系（两个随机过程正交，不相关和独立关系）2.3.7平稳随机过程的功率谱密度1.功率谱密度的概念信号检测与估计理论172.功率谱密度的主要性质3.互功率谱密度2.4复随机过程及其统计描述2.4.1复随机过程的概率密度函数2.4.2复随机过程的二阶统计平均量信号检测与估计理论182.5线性系统对随机过程的响应图2.11线性时不变系统2.5.1响应的平稳性（下面随机过程假设为平稳过程）上面分析表明，对于线性时不变系统，如果其输入是一个平稳过程，那么它的响应也是一个平稳过程。信号检测与估计理论192.5.2响应的统计平均量2.6高斯噪声、白噪声和有色噪声2.6.1高斯噪声1.中心极限定理2.高斯噪声的统计描述信号检测与估计理论203.不相关性与统计独立性关系的证明（任意两个高斯随机变量，其不相关性与统计独立性等价，见教材47页）2.6.2白噪声和高斯白噪声2.6.3有色噪声其中均值0f代表噪声的谱中心频率，方差2f反映噪声的谱宽度。信号检测与估计理论21习题信号检测与估计理论22信号检测与估计理论23信号检测与估计理论24信号检测与估计理论25信号检测与估计理论26信号检测与估计理论27信号检测与估计理论28