信号系统习题解答3版-第四章

第4章习题答案4-1判断下列系统是线性的还是非线性的，是时变的还是非时变的。（1）1()4(3)2(2)()()(3)()()(4)()()tttytxtytxtytextytxd121212121212121[()()]4[(3)(3)]2()()=4(3)2+4(3)]2=4[(3)(3)]4[()()]()()TxtxtxtxtytytxtxtxtxtTxtxtytyt（）但：系统解：是非线性的000000T[()]4(3)2,()4[3()]2T[()](),xttxttyttxttxttytt所以系统是时变的。1212121212122[()()]()()()()=()()[()()]()()TxtxtxtxtytytxtxtTxtxtytyt（）但：系统是非线性的000000T[()](),()()T[()]=(),xttxttyttxttxttytt所以系统是时不变的。1212121212123[()()][()()]()()=()()[()()]()()tttTxtxtextxtytytextextTxtxtytyt（）系统是线性的0()000000T[()](),()()T[()](),tttxttexttyttexttxttytt所以系统是时变的。1212121211112124[()()][()()]()()=()()[()()]()()ttttttTxtxtxxytytxxTxtxtytyt（）ddd系统是线性的000000011100T[()]()(),()()T[()](),ttttttttttxttxtdxuduyttxdxttytt所以系统是时不变的。4-4对图题4-4(a)、(b)所示的电路列写出电流12()()itit、和电压()ovt的微分方程()xt()xt+21/2F21H()ovt+--2()it1()it1221212()()22()()()()2[()()]2[()()]otoditditdtdtitvtxtvtititiid解方程组得：2221122122222200022()()()()()()464(),232()()()()()232()32()ditditditditdxtdxtititdtdtdtdtdtdtdvtdvtdxtdxtvtxtdtdtdtdt4-5给定系统微分方程、起始状态及激励信号分别如下，试判断系统在起始点是否发生跳变，并据此写出()(0)ky的值。（1）d()d()2()3ddytxtyttt(0)0y，()()xtut（2）22d()d()d()234()dddytytxtytttt(0)1y，(0)1y，()()xtut**（3）22d()d()d()234()()dddytytxtytxtttt(0)1y，(0)1y，()()xtt解：(1))(3)(2)(ttytydtd因为方程在t=0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变设：代入方程)()()()()(tautytbutatydtd得：a=3,3)0(3)0(＝＋－＋yy(2))()(4)(3)(222ttytydtdtydtd因为方程在t=0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变3112()()()(),()()2),2(yttytutyuttutt所以：5.1)0(5.0)0(1)0()0(,,＝＋＝－＋－＋yyyy(3))()(')(4)(3)(222tttytydtdtydtd因为方程在t=0时，存在冲激和冲激偶作用，则起始点会发生跳变11(),(),2112()()()()()()224yttytttutuytt,,1(0)(0)2(0)(0)1/4yyyy＋－＋－,,13(0)(0)223(0)(0)1/44yyyy＋－＋－4-7给定系统微分方程为22d()d()d()32()3()dddytytxtytxtttt若激励信号与起始状态为以下二种情况时，分别求它们的全响应。并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应各分量（应注意在起始点是否发生跳变）。（1）()()xtut，(0)1y，(0)2y（2）3()e()txtut，(0)1y，(0)2y解：（1）)(3)()(2)(3)(22tuttytydtdtydtd02322121齐次解：ttheAeAty221)(特解：2/3)(typ完全解：2/3)(221tteAeAty因为方程在t=0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变()(),()(),()()yttytutyttut得：3)0(1)0(1)0()0(,,＝＋＝－＋－＋yyyy则：2/523212/3212121＝＝＝＝AAAAAA完全解：023252)(2teetytt设零输入响应为：tzitzizieAeAty221)(342)0(21)0(21,2121＝＝＝＝＝ziziziziziziAAyAAyAA则：034)(2teetyttzi05.15.02)()()(2teetytytyttzizs自由响应：ttee25.22；强迫响应：1.5。（2）微分方程右边为：)()(3)()(3333ttuetetuettt原方程为：)()(2)(3)(22ttytydtdtydtd由上述微分方程可知，t0后方程右边没有输入，因此，系统没有强迫响应，完全响应和自由响应相同，零输入和零状态响应的形式均为齐次解形式，且零输入响应同（1），为：034)(2teetyttzi零状态响应的形式为：tzstzszseAeAty221)(3()()()((),)()3(,())yttytuttututyttut所以：,,(0)(0)0(0)(0)1yyyy＋－＋－=11120212121＝＝＝＝AAAzsAzsAAzszs则：0)(2teetyttzs045)()()(2teetytytyttzszi4-9一线性时不变系统在相同的起始状态下，当输入为()xt时，全响应为(2ecos2)()ttut；当输入为2()xt时，全响应为(e2cos2)()ttut，求输入为4()xt时的全响应。解：系统的零状态响应为：)()2cos()2cos2()2cos2()()()(12tutetetetytytytttzs当输入为4x(t)时，系统的全响应为：)()2cos4()()(3)(1tuettytytytzs)(3)()()(1tuetytytytzszi4-10系统的微分方程由下列各式描述，分别求系统的冲激响应与阶跃响应。（1）d()2()()dytytxtt解：（1）首先求阶跃响应，原方程变为：)()(2)(tutgtgdtd方程右边没有冲激作用，则起始点不会发生跳变，0)0()0(gg特征方程：022齐次解：theAtg21)(特解：B＝0.5则：5.0)(21teAtg，代入初始值，05.01A系统的阶跃响应为：)()5.05.0()(21tuetgt系统的冲激响应为：)()()(2tuetgdtdtht**4-13一线性时不变系统，当输入为()xte()tut时，零状态响应为zs()yt2311eee()22tttut，求系统的冲激响应()ht。解：从zs()yt可以看出1()e()2tpytut，231()ee()2tthytut所以特征根为122,3，特征方程为：2560，设微分方程为：22()()56()()dytdytytAxtdtdt（1）当()()txteut时，1()e()2tpytut，将()pyt代入（1）式，并比较方程两边系数可得1A，这样微分方程为：22()()56()()dytdytytxtdtdt设()()xtt，()()ytht，则22()()56()()dhtdhthttdtdt设2312()()()tthtAeAeut（2）因为'(0)0,(0)0hh，由奇异函数平衡法可求出：'(0)0,(0)1hh，代入（2）式得：12120231AAAA，解得：121,1AA，所以23()()()tthteeut变换域求解法：**4-15一线性时不变系统，当激励信号为1()()xtt时，全响应为1()()e()tyttut；当激励信号为2()()xtut时，全响应为2()3e()tytut。()()()zsYsXsHs根据卷积定理有：111()[()]2(1)22(3)1(1)(2)(3)zszsYsLytssssss1()[()]1XsLxts()111()()(2)(3)23YsHsXsssss12311()[][]()23tthtLeeutss求系统的冲激响应()ht（两种激励下，起始状态相同）。解法一：)2()1()(3)()()()()()()()(21tuetydhtytuettythtytzittzi式(1)–式(2)得：)(2)()()(tuetdhthtt上式求导：)(2)(2)()()(''tuettththt设：()()()()tthtAtBeutceut代入上式：''()()()()()()()()()2()2()tttttAtBtBeutCeutCtAtBeutCeuttteut方程两边函数相等：1,1BA，C=0；()()()thtteut解法二：111222()()()()()()zizszizsYsYsYsYsYsYs因为起始状态相同，所以12()()ziziYsYs2112212121()()()()()[()()]21()()11()11()()11()()()zszstYsYsYsYsHsXsXsYsYssHsXsXssshtteut解法三：设当2()()xtut时的零状态响应为()zsyt，则'12(1)()()()()()(2)()()()3()tzizstzizsytytytteutytytyteut特征根为：1，设()()tziytAeut，则由（2）式得：()(3)()(3)tzsytAeut由（1）式得：'()()(1)()(4)tzsyttAeut同时由（3）式得：'()(3)()(3)()(5)tzsytAtAeut比较（4），（5）两式得：()(1)()(3)()(3)()tttAeutAtAeut所以，2A，这样，'()()()()tzshtytteut解法三：'12(1)()()()()()(2)()()()3()tzizstzi