信息光学第二章苏显渝版作者窦柳明

第二章标量的衍射理论光的衍射现象是光波动性的一主要标志，也是光在传播过程中的最重要的属性之一。本章讲述标量波衍射理论。需要指出的是，在现代衍射光学、微光学、二元光学及光子晶体分析中，常利用矢量波衍射理论。本章将在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最基本的衍射现象及其应用：菲涅耳衍射（近场衍射）和夫琅禾费衍射（远场衍射），并利用线性系统理论赋予新的解释，即把衍射过程看做线性不变系统，讨论其脉冲响应和传递函数。第二章标量的衍射理论光波在传播过程中遇到障碍物时，发生的偏离直线传播,即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。衍射：光波在传播过程中波面产生破缺的现象，称为衍射，这是惠更斯－菲涅耳原理对圆孔、单缝、多缝等衍射问题进行解析而得出的概念。光源衍射物a~观察屏衍射图样第二章标量的衍射理论光是一种电磁波，光波的衍射问题应该通过麦克斯韦的电磁理论来求解。但是这种求解过程相当复杂，且多数不能获得解析解。现代的光学教材多使用惠更斯－菲涅耳－基尔霍夫标量场理论。标量场理论的适用范围:①衍射孔径比照明光波波长大的多。现在一般认为，光波在传播的过程中，不论任何原因导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布）的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为衍射。②观察点较远。标量衍射理论的核心问题：用已知的边界上的复振幅分布来表达光场中任一点的复振幅分布。第二章标量的衍射理论2.3菲涅尔衍射和夫琅和费衍射32.4透镜的傅里叶变换性质4第二章标量的衍射理论2.1基尔霍夫衍射理论1（解决光波的传播问题）2.2衍射的角谱理论2（光波传播的频域描述，传递函数）重点掌握光的传播就是光的衍射过程这一物理思想，理解角谱概念，从傅里叶光学的角度重新理解透镜这一基本光学元件的成像机理。2.1基尔霍夫衍射理论2.1.1惠更斯—菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式惠更斯原理：1690年，惠更斯在其著作《论光》中提出假设：“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波”，并且：“后一时刻的波前的位置是所有这些子波前的包络面。”惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，也可以说明衍射的存在；但不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。惠更斯原理：任何时刻的波面上的每一点都可作为发射子波的波源，各自发出球面子波。其后任一时刻所有子波波面的包络面形成整个波动在该时刻的新波面。2.1基尔霍夫衍射理论菲涅耳1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯－菲涅耳原理。惠更斯－菲涅耳原理：光场中任一给定曲面上的诸面元可以看做是子波源，如果子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振动，都可看作是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。2.1基尔霍夫衍射理论惠更斯--菲涅耳原理设Σ是某光波的波阵面，在其上任一面元ds都可看作是次波的光源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点处光波的强度。dSΣQPnrdsreθKPUCQUjkrΣ)(0惠更斯—菲涅耳原理是对光的衍射现象物理规律的认识。但其数学表达式则不够精确，表达式中的一些参数也不够严格。基尔霍夫根据惠更斯—菲涅耳原理，利用电磁场理论推导出了严格的衍射公式。2.1基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射公式基尔霍夫的贡献：1.给出了倾斜因子2.给出了常数C的具体形式方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。基尔霍夫从标量波动方程剥离时间变量得到亥姆赫兹方程，利用格林定理和通过假定衍射屏的边界条件，求解了波动方程，导出了严格的衍射公式。2.1基尔霍夫衍射理论dsrernrnreaλjQUjkrΣjkr2,cos,cos10000慧更斯－菲涅耳原理2,cos,cos0rnrnθKjC基尔霍夫衍射公式QP0Σnr0Pr0000)(ikreraPU=位于P0处的单色点光源在Σ平面上产生的球面波光场分布dsreθKPUCQUjkrΣ)(0dsreθKPUλjQUjkrΣ)()(102.1基尔霍夫衍射理论QP0Σnr0Pr基尔霍夫衍射公式适用于任意单色光波照明孔径的情况，因为总可把任意复杂的光波分解成简单的球面波的线性叠加。讨论：2.描述衍射屏宏观光学性质的复振幅透过率1.衍射屏后表面上P点的复振幅分布衍射屏前表面上点的复振幅分布衍射屏后表面上P点的复振幅分布衍射屏前表面上点的复振幅分布2.1基尔霍夫衍射理论衍射屏后表面的复振幅，也是前表面的对于不透明屏上的开孔Σ平面内t(P)=13.把衍射看作光振动由衍射屏后表面到观察面的自由传播.以任何方式改变波面形状，或限制波面范围，或使振幅以一定分布衰减，也可以是一定的空间分布使相位延迟，或两者兼有之，都会引起衍射，所以，衍射障碍物除屏上开的小孔外，还包含具有一定复振幅的透明片；能引起衍射的障碍物统称衍射屏。QP0Σnr0Pr2.1基尔霍夫衍射理论2.1.2惠更斯—菲涅耳原理与叠加积分dsreθKPUλjQUjkrΣ)()(10)()exp(1),(KrjkrjQPhdSQPhPUQU),()()(0ddyxhfyxg),(),(),(),(),(yxhyxf与线性系统公式比较:1.衍射系统是线性系统2.h(P,Q)的物理意义:是衍射系统的点扩展函数。光波由P点传播到Q点的过程实际上是一个衍射过程,该过程将U0(P)变换成U(Q),这等效于一个“系统”的作用，由于满足叠加积分，故此系统还是线性系统。对于这个系统，h(P,Q)表征了它的全部特性。QP0Σnr0Pr2.1基尔霍夫衍射理论2.1.3相干光场在自由空间传播的平移不变性2,cos,cos0rnrnθK)()exp(1),(θKrjkrλjQPh近轴条件下：近轴条件下：当点光源P0足够远，而且入射光在孔径平面上各点的入射角都不大。此外，如果观察平面与孔径平面的距离远大于孔径，而且在观察平面上仅考虑一个对孔径上各点张不大的范围。1θK1,cos1,cos0rnrn，rjkrλjQPh)exp(1),(2.1基尔霍夫衍射理论近轴条件下zQP0Σnr0Prθ2θ120202)()(yyxxzrrjkrjQPh)exp(1),(=002020200,])()(exp[1,;,yyxxhyyxxzjkzλjyxyxh忽略倾斜因子的变化后，就可以把光波在衍射孔径后的传播过程看成是光波通过一个线性不变系统。0000000,,,dydxyyxxhyxUyxUyxhyxU,,0dSQPhPUQU),()()(0这表明，在满足一定条件下，衍射屏上各次波源在场点Q处所产生的复振幅分布具有相同的分布形式，只是发生了一个空间平移。也就是说，具有平移不变性。2.1基尔霍夫衍射理论2.1.4相干光场在自由空间传播的脉冲响应近似表达式])()(exp[1,2020200yyxxzjkzλjyyxxh]})()[(2exp{)exp(,202000yyxxzkjzjjkzyyxxh2.1基尔霍夫衍射理论菲涅耳近似在菲涅耳近似的基础上进一步限定传播距离z远远大于孔径的线度，可以忽略，而观察范围的线度与z相比尽管很小，但还未小到可以略去的程度。即：菲涅耳衍射公式条件：只要使传播距离充分大于孔径的线度和观察范围的线度即可。002020000]})()[(2exp{),()exp(),(dydxyyxxzjkyxUzλjjkzyxU]}22[1{22020200222zyxzyyxxzyxz]})()[(211{2020zyyzxxzr菲涅耳近似zyx22020/）（zyx222/）（夫琅禾费近似]}2[1{200222zyyxxzyxzr远场近似2.1基尔霍夫衍射理论]exp[]2exp[exp),;,(002200yyxxzjkyxzjkzjjkzyxyxh夫琅禾费近似]}2[1{200222zyyxxzyxzr•光源或接收屏距离衍射屏都相当于无限远—衍射物上的入射波和衍射波都可看成平面波满足夫琅禾费衍射均远场近似夫琅禾费近似下的脉冲响应：000022000]exp[]2exp[),()exp(),(dydxyyxxzjkyxzjkyxUzjjkzyxU→不再具有空不变性质SABE光源障碍物接收屏2.1基尔霍夫衍射理论平面波入射菲涅尔衍射区夫琅禾费衍射区由于菲涅耳衍射区包含了夫琅和费衍射区，故其衍射过程的传递函数也适用于夫琅和费衍射。在衍射问题中，为了方便观测、分析计算及应用，可以把衍射光场分为三个区域：几何投影区、菲涅耳衍射区和夫琅禾费衍射区。在几何投影区，衍射现象不明显，光场的传播可以看作直线传播；从开始出现衍射现象至无限远的区域，被划分为菲涅耳衍射区；当观察屏至衍射屏的距离足够远，以致衍射场的分布不随距离的增加而明显变化，只是衍射花样的尺寸随距离增加而增大时，称为夫琅禾费衍射区。几何投影区002020000]})()[(2exp{),()exp(),(dydxyyxxzjkyxUzλjjkzyxU000022000]exp[]2exp[),()exp(),(dydxyyxxzjkyxzjkyxUzjjkzyxU2.1基尔霍夫衍射理论2.2衍射的角谱理论x0y0yxz线性平移不变系统的本征函数是：2.2.1单色平面波与本征函数如不考虑夫琅禾费近似，相干光场在自由空间两平面间的传播是二维线性空不变系统.此式可看作是振幅为1的平面波在xy平面上形成的复振幅分布。如果把相干光场在自由空间两平面间的传播看作是通过一个二维线性空不变系统，则单色平面波在该输入平面上形成的分布即为该系统的本征函数。因为色平面波在自由空间中传播一段距离后，只是相位改变一定数值，而无其它变化，即相当于乘上一个复常数。2.2衍射的角谱理论孔径平面和观察平面上的光场分布都可看作是许多不同方向传播的单色光平面波分量的线性组合。每一平面波分量的相对振幅和相位取决于相应的角谱。2.2.2角谱的传播孔径平面光场角谱),(000yxU)cos,cos(0λβλαA)cos()cos()]coscos(2exp[)cos,cos(),(000000λβdλαdyλβxλαπjλβλαAyxU观察平面光场角谱),(yxU)cos,cos(λβλαA)cos()cos()]coscos(2exp[)cos,cos(),(λβdλαdyλβxλαπjλβλαAyxU)cos,cos(0λβλαA)cos,cos(λβλαA),(yxU),(000yxU？最后，通过傅里叶逆变换可以进而得到衍射光场分布，即空域中的衍射公式1F002020200,])()(exp[1,;,yyxxhyyxxzjkzjyxyxh()()()),(*),(00000000yxhyx=Udydx,y-yx-xh,yxU=x,y∴U∞∞∫∫2.2衍射的角谱理论)cos()cos()]coscos(2exp[)cos,cos(),(ddyxjFyxf∫∫∞∞++=-(,)(,)exp{j2()}fxyFxyddddyxj