八一中学选修2-1第一章常用逻辑用语单元综合测试

一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列语句不是命题的有()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？；③3＋1＝5；④5x－36.A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．0B．2C．3D．43．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．已知p：若a∈A，则b∈B，那么命题綈p是()A．若a∈A，则b∉BB．若a∉A，则b∉BC．若b∉B，则a∉AD．若b∈B，则a∈A5．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是()A．命题“非p”与“非q”真假不同B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题C．命题“非p”与“q”真假相同D．命题“非p且非q”是真命题6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②(a)2＝(b)2；③(a)2＝a·b，其中可以作为a＝b的必要非充分条件的命题是()A．①B．①②C．②③D．①②③7．已知A和B两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么“綈A”是“綈B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．下列全称命题中，正确的是()A．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)sinx＋sinyB．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)cosx＋cosyC．∀x，y∈{锐角}，cos(x＋y)sinx＋cosyD．∀x，y∈{锐角}，cos(x－y)cosx＋siny10．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈Z，x3x2”的否定是“∃x∈Z，x3x2”C．“φ＝π2”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充要条件D．“b＝0”是“关于x的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件11．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k0，则函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是()A．命题“p且q”为真B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“綈p”且“綈q”为假12．已知向量a＝(x，y)，b＝(cosα，sinα)，其中x，y，α∈R，若|a|＝4|b|，则a·bλ2成立的一个必要不充分条件是()A．λ3或λ－3B．λ1或λ－1C．－3λ3D．－1λ1第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．14．令p(x)：ax2＋2x＋10，如果对∀x∈R，p(x)是真命题，则a的取值范围是________．15．试写出一个能成为(a－2)2(a－1)0的必要不充分条件________．16．给定下列结论：①已知命题p：∃x∈R，tanx＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋10.则命题“p∧綈q”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；③若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tanα＝5tanβ；④圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0与直线y＝12x，所得弦长为2.其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知命题p：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b＝c.写出其否定和否命题，并说明真假．18．(12分)给定两个命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋10恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．19．(12分)求证：一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a－1.20．(12分)已知p：2x2－9x＋a0，q：x2－4x＋30，x2－6x＋80，且綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．21．(12分)给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2)和Q(cosx，－1)，∀x∈[0，π]，向量OP→与OQ→不垂直．”试判断该命题的真假，并证明．22．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.八一中学选修2-1第一单元综合测试参考答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列语句不是命题的有()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？；③3＋1＝5；④5x－36.A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④答案：C2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．0B．2C．3D．4解析：可设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，满足A⊆B，但A≠B，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真．答案：B3．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解析：直线l与平面α内两相交直线垂直⇔直线l与平面α垂直，故选C.答案：C4．已知p：若a∈A，则b∈B，那么命题綈p是()A．若a∈A，则b∉BB．若a∉A，则b∉BC．若b∉B，则a∉AD．若b∈B，则a∈A解析：命题“若p，则q”的否定形式是“若p，则綈q”．答案：A5．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是()A．命题“非p”与“非q”真假不同B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题C．命题“非p”与“q”真假相同D．命题“非p且非q”是真命题解析：p且q是假命题⇒p和q中至少有一个为假，则非p和非q至少有一个是真命题．p或q是假命题⇒p和q都是假命题，则非p和非q都是真命题．答案：D6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②(a)2＝(b)2；③(a)2＝a·b，其中可以作为a＝b的必要非充分条件的命题是()A．①B．①②C．②③D．①②③解析：由向量的运算即可判断．答案：D7．已知A和B两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么“綈A”是“綈B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由于“A⇒B，A⇐/B”等价于“綈A⇐綈B，綈A⇒/綈B”，故“綈A”是“綈B”的必要不充分条件．答案：B8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“x＝4”，得a＝(4,3)，故|a|＝5；反之，由|a|＝5，得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．答案：A9．下列全称命题中，正确的是()A．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)sinx＋sinyB．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)cosx＋cosyC．∀x，y∈{锐角}，cos(x＋y)sinx＋cosyD．∀x，y∈{锐角}，cos(x－y)cosx＋siny解析：由于cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny，而当x，y∈{锐角}时，0cosy1,0sinx1，所以cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsinycosx＋siny，故选项D正确．答案：D10．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈Z，x3x2”的否定是“∃x∈Z，x3x2”C．“φ＝π2”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充要条件D．“b＝0”是“关于x的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：A为全称命题；B中否定应为∃x0∈Z，x30≤x20；C中应为充分不必要条件．答案：D11．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k0，则函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是()A．命题“p且q”为真B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“綈p”且“綈q”为假解析：由题意知p真，q假．再进行判断．答案：D12．已知向量a＝(x，y)，b＝(cosα，sinα)，其中x，y，α∈R，若|a|＝4|b|，则a·bλ2成立的一个必要不充分条件是()A．λ3或λ－3B．λ1或λ－1C．－3λ3D．－1λ1解析：由已知|b|＝1，∴|a|＝4|b|＝4.又∵a·b＝xcosα＋ysinα＝x2＋y2sin(α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4，由于a·bλ2成立，则λ24，解得λ2或λ－2，这是a·bλ2成立的充要条件，因此a·bλ2成立的一个必要不充分的条件是λ1或λ－1.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等14．令p(x)：ax2＋2x＋10，如果对∀x∈R，p(x)是真命题，则a的取值范围是________．解析：由已知∀x∈R，ax2＋2x＋10恒成立．显然a＝0不合题意，所以a0Δ＝4－4a0⇒a1.答案：a115．试写出一个能成为(a－2)2(a－1)0的必要不充分条件________．解析：(a－2)2(a－1)0的解集记为B＝{a|a1且a≠2}，所找的记为集合A，则BA.答案：a1(不惟一)16．给定下列结论：①已知命题p：∃x∈R，tanx＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋10.则命题“p∧綈q”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；③若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tanα＝5tanβ；④圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0与直线y＝12x，所得弦长为2.其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析：对于①易知p真，q真，故命题p∧綈q假，①正确；对于②l1与l2垂直的充要条件应为a＋3b＝0；对于③利用两角和与差的正弦公式展示整理即得；对于④可求得弦长为455，④错．答案：①③三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知命题p：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b＝c.写出其否定和否命题，并说明真假．解：綈p：∃非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，使b≠c.綈p为真命题．否命题：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)≠0，则b≠c.否命题为真命题．18．(12分)给定两个命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋10恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．解：命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋10恒成立，则“a＝0”，或“a0且a2－4a0”．解得0≤a4.命题Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，则Δ＝1－4a≥0，得a≤14.因为P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则P，Q有且仅有一个为真命题，故綈P∧Q为真命题，或P∧綈Q为真命题，则a0或a≥4a≤14或0≤a4a14.解得