信息论期末复习资料

书中：1.信息科学，材料科学，能源科学仪器被称为当代的“三大支柱”。2.带宽与数据传输速率信道带宽与数据传输速率的关系可以奈奎斯特(Nyquist)准则与香农(Shanon)定律描述。奈奎斯特准则指出：如果间隔为π/ω(ω=2πf),通过理想通信信道传输窄脉冲信号，则前后码元之间不产生相互窜扰。因此，对于二进制数据信号的最大数据传输速率Rmax与通信信道带宽B（B=f,单位Hz)的关系可以写为：Rmax＝2.f(bps)；对于二进制数据若信道带宽B=f=3000Hz，则最大数据传输速率为6000bps。香农定理则描述了有限带宽、有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽、信噪比之间的关系。香农定理指出：在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，数据传输速率Rmax与信道带宽B、信噪比S/N的关系为：Rmax＝B.log2(1+S/N)3.自信息量的性质：非负性、必然事件信息量为0、不可能事件信息量为无穷、信息量是概率的单调递减函数。4.当X和Y相互独立时，互信息为0.5.信源熵表征信源的平均不确定度，平均自信息量是消除信源不确定度所需要的信息的量度。6信源熵H(X)与信息率R和信道容量C的关系：不论何种信道，只要信息率R小鱼信道容量C，总能找到一种编码，能在信道上以任意小的错误概率和任意接近于C的传输率来传送信息。反之，若RC,则传输总要产生失真。又由无失真信源编码定理可知，要做到几乎无失真信源编码，信息率R必须大于信源熵H（X）。故三者的关系为：H(x)=R=C7.保真度准则下的信源编码定理：即译码平均失真度大于允许失真度。8.香农三个基本编码定理：无失真信源编码定理、信道编码定理和限失真信源编码定理。三个基本概念：信源熵、信道容量和信息率失真函数。9.信源编码、信道编码和安全编码信源编码是以提高通信有效性为目的的编码。通常通过压缩信源的沉余度来实现。采用的一半方法是压缩每个信源符号的平均比特数或信源的码率，同样多的信息用较少的码率来传送，使单位时间内传送的平均信息量增加，从而提高通信的有效性。信道编码是以提高信息传输的可靠性为目的的编码。通常通过增加信源的沉余度来实现，采用一般方法是增大码率或宽带，与信源编码正好相反。密码则是以提高通信系统的安全性为目的的编码。通常通过加密和解密来实现。从信息论的观点出发，加密可视为“增熵”的过程。10.BSC又称为二元硬判决信道。只要噪声是白噪声，那么大多数二元传输信道的赢判决解调模型都可以等效为一个BSC。11.无记忆编码信道的每一个二元符号输出可以用多个比特表示，理想情况下为实数表示。此时的无记忆二元信道又称为二元软判决信道。1.统计度量是信息度量最常用的方法。2.熵是香农信息论最基本最重要的概念。3.事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。4.单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。5.一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。6.必然事件的自信息是0。7.不可能事件的自信息量是∞。8.数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量趋于变小。9.离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。10.对于n元m阶马尔可夫信源，其状态空间共有nm个不同的状态。11.一维连续随机变量X在[a，b]区间内均匀分布时，其信源熵为log2（b-a）。12.平均功率为P的高斯分布的连续信源，其信源熵，Hc（X）=。13.对于限峰值功率的N维连续信源，当概率密度均匀分布时连续信源熵具有最大值。14.对于限平均功率的一维连续信源，当概率密度高斯分布时，信源熵有最大值。15.对于均值为0，平均功率受限的连续信源，信源的冗余度决定于平均功率的限定值P和信源的熵功率之比。16.若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为3。17.m元长度为ki，i=1，2，···n的异前置码存在的充要条件是：。18.若把掷骰子的结果作为一离散信源，则其信源熵为log26。19.同时掷两个正常的骰子，各面呈现的概率都为1/6，则“3和5同时出现”这件事的自信息量是log218（1+2log23）。20.一副充分洗乱的扑克牌（52张），从中任意抽取1张，然后放回，若把这一过程看作离散无记忆信源，则其信源熵为。21.根据输入输出信号的特点，可将信道分成离散信道、连续信道、半离散或半连续信道。22.信道的输出仅与信道当前输入有关，而与过去输入无关的信道称为无记忆信道。23.具有一一对应关系的无噪信道的信道容量C=log2n。24.强对称信道的信道容量C=log2n-Hni。25.对称信道的信道容量C=log2m-Hmi。26.对于离散无记忆信道和信源的N次扩展，其信道容量CN=NC。27.广播信道是只有一个输入端和多个输出端的信道。28.当信道的噪声对输入的干扰作用表现为噪声和输入的线性叠加时，此信道称为加性连续信道。29.高斯加性信道的信道容量C=。30.信道编码定理是一个理想编码的存在性定理，即：信道无失真传递信息的条件是信息率小于信道容量。31.信道矩阵代表的信道的信道容量C=1。32.信道矩阵代表的信道的信道容量C=1。33.对于具有归并性能的无燥信道，达到信道容量的条件是p（yj）=1/m）。34.信道矩阵代表的信道，若每分钟可以传递6*105个符号，则该信道的最大信息传输速率Ct=10kHz。35.信息率失真理论是量化、数模转换、频带压缩和数据压缩的理论基础。36.信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越大，获得的信息量就越小。37.信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大道传输消息所需的信息率也越小。38.单符号的失真度或失真函数d（xi，yj）表示信源发出一个符号xi，信宿再现yj所引起的误差或失真。39.汉明失真函数d（xi，yj）=。40.平方误差失真函数d（xi，yj）=（yj-xi）2。41.平均失真度定义为失真函数的数学期望，即d（xi，yj）在X和Y的联合概率空间P（XY）中的统计平均值。42.如果信源和失真度一定，则平均失真度是信道统计特性的函数。43.如果规定平均失真度不能超过某一限定的值D，即：。我们把称为保真度准则。44.离散无记忆N次扩展信源通过离散无记忆N次扩展信道的平均失真度是单符号信源通过单符号信道的平均失真度的N倍。45.试验信道的集合用PD来表示，则PD=。46.信息率失真函数，简称为率失真函数，即：试验信道中的平均互信息量的最小值。47.平均失真度的下限取0的条件是失真矩阵的每一行至少有一个零元素。48.平均失真度的上限Dmax取{Dj：j=1，2，···，m}中的最小值。49.率失真函数对允许的平均失真度是单调递减和连续的。50.对于离散无记忆信源的率失真函数的最大值是log2n。51.当失真度大于平均失真度的上限时Dmax时，率失真函数R（D）=0。52.连续信源X的率失真函数R（D）=eP2log212Pnikim1152log2)1(log212NXPP10002/12/11001011001jiji10DDDDDmjniDDxypij,,2,1,,,2,1;:)/();()/(YXIPxypInfD53.当时，高斯信源在均方差失真度下的信息率失真函数为。54.保真度准则下的信源编码定理的条件是信源的信息率R大于率失真函数R（D）。55.某二元信源其失真矩阵D=，则该信源的Dmax=a/2。56.某二元信源其失真矩阵D=，则该信源的Dmin=0，信源的R（D）=1-H（D/a）。57.按照不同的编码目的，编码可以分为三类：分别是信源编码、信道编码和安全编码。58.信源编码的目的是：提高通信的有效性。75.信道编码的最终目的是：提高信号传输的可靠性。59.一般情况下，信源编码可以分为离散信源编码、连续信源编码和相关信源编码。60.连续信源或模拟信号的信源编码的理论基础是限失真信源编码定理。61.在香农编码中，第i个码字的长度ki和p（xi）之间有关系。62.对信源进行二进制费诺编码，其编码效率为1。63.对具有8个消息的单符号离散无记忆信源进行4进制哈夫曼编码时，为使平均码长最短，应增加2个概率为0的消息。64.对于香农编码、费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。65.对于二元序列0011100000011111001111000001111111，其相应的游程序列是23652457。66.设无记忆二元序列中，“0”和“1”的概率分别是p0和p1，则“0”游程长度L（0）的概率为。67.游程序列的熵等于原二元序列的熵。68.若“0”游程的哈夫吗编码效率为η0，“1”游程的哈夫吗编码效率为η1，且η0η1对应的二元序列的编码效率为η，则三者的关系是η0ηη1。69.在实际的游程编码过程中，对长码一般采取截断处理的方法。70.“0”游程和“1”游程可以分别进行哈夫曼编码，两个码表中的码字可以重复，但C码必须不同。71.在多符号的消息序列中，大量的重复出现的，只起占时作用的符号称为冗余位。72.“冗余变换”即：将一个冗余序列转换成一个二元序列和一个缩短了的多元序列。73.L-D编码是一种分帧传送冗余位序列的方法。74.L-D编码适合于冗余位较多或较少的情况。76.狭义的信道编码即：检、纠错编码。77.BSC信道即：无记忆二进制对称信道。78.n位重复码的编码效率是1/n。79.等重码可以检验全部的奇数位错和部分的偶数位错。80.任意两个码字之间的最小汉明距离有称为码的最小距dmin，则dmin=。81.若纠错码的最小距离为dmin，则可以纠正任意小于等于t=个差错。82.若检错码的最小距离为dmin，则可以检测出任意小于等于l=dmin-1个差错。83.线性分组码是同时具有分组特性和线性特性的纠错码。84.循环码即是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。判断（50道）1.必然事件和不可能事件的自信息量都是0。错2.自信息量是的单调递减函数。对3.单符号离散信源的自信息和信源熵都具有非负性。对4.单符号离散信源的自信息和信源熵都是一个确定值。错5.单符号离散信源的联合自信息量和条件自信息量都是非负的和单调递减的。对6.自信息量、条件自信息量和联合自信息量之间有如下关系：对7.自信息量、条件自信息量和互信息量之间有如下关系：对8.当随即变量X和Y相互独立时，条件熵等于信源熵。对9.当随即变量X和Y相互独立时，I（X；Y）=H（X）。错10.信源熵具有严格的下凸性。错11.平均互信息量I（X；Y）对于信源概率分布p（xi）和条件概率分布p（yj/xi）都具有凸函数性。对12.m阶马尔可夫信源和消息长度为m的有记忆信源，其所含符号的依赖关系相同。错13.利用状态极限概率和状态一步转移概率来求m阶马尔可夫信源的极限熵。对14.N维统计独立均匀分布连续信源的熵是N维区域体积的对数。对15.一维高斯分布的连续信源，其信源熵只与其均值和方差有关。错16.连续信源和离散信源的熵都具有非负性。错17.连续信源和离散信源都具有可加性。对18.连续信源和离散信源的平均互信息都具有非负性。对19.定长编码的效率一般小于不定长编码的效率。对20.信道容量C是I（X；Y）关于p（xi）的条件极大值。对21.离散无噪信道的信道容量等于log2n，其中n是信源X的消息个数。错22.多用户信道的信道容量不能用一个数来代表。对23.多用户信道的信道容量不能用一个数来代表，但信道的信息率可以用一个数来表示。错24.高斯加性信道的信道容量只与信道的信噪有关。对25.信道无失真传递信息的条件是信息率小于信道容量。对26.最大信息传输速率，即：选择某一信源的概率分布（p（xi）），使信道所能传送的信息率的最大值。错27.对于具有归并性能的无燥信道，当信源等概率分布时（p（xi