倒立摆仿真及实验报告

1最优控制实验报告二零一五年一月2目录第1章一级倒立摆实验.............................................................................................31.1一级倒立摆动力学建模.................................................................................31.1.1一级倒立摆非线性模型建立.................................................................31.1.2一级倒立摆线性模型建立.....................................................................51.2一级倒立摆t∞状态调节器仿真....................................................................51.3一级倒立摆t∞状态调节器实验....................................................................91.4一级倒立摆t∞输出调节器仿真..................................................................111.5一级倒立摆t∞输出调节器实验..................................................................131.6一级倒立摆非零给定调节器仿真...............................................................141.7一级倒立摆非零给定调节器实验...............................................................16第2章二级倒立摆实验...........................................................................................162.1二级倒立摆动力学模型...............................................................................162.1.1二级倒立摆非线性模型建立...............................................................172.1.2二级倒立摆线性模型建立...................................................................182.2二级倒立摆t∞状态调节器仿真..................................................................192.3二级倒立摆t∞状态调节器实验..................................................................212.4二级倒立摆t∞输出调节器仿真..................................................................222.5二级倒立摆t∞输出调节器实验..................................................................222.6二级倒立摆非零给定调节器仿真...............................................................232.7二级倒立摆非零给定调节器实验...............................................................243第1章一级倒立摆实验1.1一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示图1-1直线一级倒立摆模型M小车质量1.096kg；m摆杆质量0.109kg；b小车摩擦系数0.1N/m/sec；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m；I摆杆惯量0.0034kg·m2；摆杆与垂直向上方向的夹角，规定角度逆时针方向为正；x小车运动位移，规定向右为正。1.1.1一级倒立摆非线性模型建立采用拉格朗日方法，系统的拉格朗日方程为：,,,LqqTqqVqq(1.1)其中，L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系统的势能。拉格朗日方程由广义坐标iq和L表示为：4iiidLLfdtqq(1.2)if为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，系统的两个广义坐标分别为和x。系统动能：2222111111112cos223MmTTTMxmxmlxml(1.3)系统的势能11cosVmgl(1.4)由于在广义坐标1上应用拉格朗日方程，由于此广义坐标上无广义力，则0dLLdt(1.5)得到：2cossinmlxmglIml(1.6)在simulink中建立非线性仿真动力学模型图1-2一级倒立摆非线性动力学模型其中MATLABFunction模块中代码如下：functiondw=fcn(u,phi)I=0.0034;m=0.109;l=0.25;g=9.8;dw=(m*g*l*sin(phi)+m*l*u*cos(phi))/(I+m*l*l);51.1.2一级倒立摆线性模型建立由(1.6)，且对于质量均匀分布的摆杆有213Iml，将0.25lm代入有3(cossin)xg(1.7)将其在平衡位置0处进行线性化，cos1,sin，且有29.831/gms得到29.4933x(1.8)输入ux，将系统写为如下状态空间描述形式0100000001000100029.493031000000100xxxxuxxxyu(1.9)在simulink中建立线性仿真动力学模型，只需将1.1.1里建立的非线性模型中MATLABFunction模块代码更改为dw=29.493*phi+3*u;1.2一级倒立摆t∞状态调节器仿真对于线性定常系统的状态方程为()()()xtAxtBut(1.10)给定初始条件00xtx，终端时间ft。求最优控制*ut使系统的二次型性能指标01()()()()2tJxtQxtutRutdt(1.11)取极小值。式中,,,ABQR——常数矩阵；Q——半正定对称阵；R——正定对称矩阵。控制不受约束，最优控制存在且唯一，即61()()()utRBPxtKxt(1.12)式中，P为nn维正定常数矩阵，满足里卡提矩阵代数方程10TTPAAPPBRBPQ(1.13)对于线性定常系统无限时间状态调节器问题，要求系统完全能控。求解出上方程，即可得到最优控制*()ut。试验中的一级倒立摆模型可以线性化为定常系统，其中系数矩阵为0100000000010029.4930A;0103B;10000010C;00D公式(1.11)中选定不同的Q，R值，Q4×4为半正定矩阵，R1×1为正定矩阵，通过求解代数黎卡提方程（利用Matlab里面的lqr函数）可以得到最优控系数,,,KlqrABQR(1.14)控制率为()()utKxt(1.15)Q、R的形式可设计为11223344,1QQQRQQ(1.16)因为二次型最优控制是使得二次型性能指标取极小值，故只需改变Q矩阵中元素的值即可，不用改变R的取值，即只要保证Q与R的相对大小即可。其中，Q矩阵中Q11代表小车位置的权重，Q22代表小车速度的权重，Q33代表摆杆角度的权重，Q44为摆杆角速度的权重。仿真实验模型如下图1-3仿真实验模型7设定角度初始值为10°，角速度与小车速度初值均为0。下面按照一定的依据选取Q中非零元素的值进行仿真实验，并进行分析。取一组标准值方便对比Q11=Q22=Q33=Q44=2。响应曲线如下图，在后续研究中，若无特殊说明Q中元素分别取此标准值。考虑到实际系统中小车轨道长度有限，取上述参数时发现位置相对零点波动的绝对值最大达到了0.3m以上，这在实际系统中是难以正常进行试验的，所以要对参数进行调整改进，下面分别研究各个参数变化时对系统响应的影响。图1-4Q11=Q22=Q33=Q44=2时角度与位置变化曲线(1)分析小车位置的权重对于响应曲线的影响。其他参数不变的情况下，小车位置权重Q11分别取为2、20、200、1000时观察角度与位置变化曲线如图1-1图1-5所示。图1-5位置权重对响应的影响由图1-5可以看出，随着Q11的增加，角度变化曲线的稳态时间缩短，但超调量有所增大；位置变化曲线特性改进明显，稳态时间与绝对的超调值都显著减小，可见增大Q11的值会改进系统特性。(2)分析小车速度的权重对响应曲线的影响小车速度权重Q22分别取为2、20、200、1000时得到角度与位置随时间变化曲线如图1-6所示0246810-4-20246810t(s)(°)角度变化曲线0246810-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050t(s)x(m)位置变化曲线0246810-10-50510t(s)(°)角度变化曲线Q11=2Q11=20Q11=200Q11=10000246810-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05t(s)x(m)位置变化曲线Q11=2Q11=20Q11=200Q11=10008图1-6小车速度权重对响应曲线的影响随着Q22的增大，角度曲线特性得到一定改善，绝对超调减小，且稳态时间减小；但对于小车位置曲线来说，虽然绝对超调变小了，但很明显稳态时间大大增加了，由于Q22代表的是小车的速度权重，可以类比为引入了阻尼项，减小超调的同时会增大稳态时间，这是我们并不希望的。故而Q22的值不能太大，要保证Q22取值不超过Q11。(3)分析摆杆角度的权重对响应曲线的影响小车速度权重Q33分别取为2、20、200、1000时得到角度与位置随时间变化曲线如图1-7所示图1-7摆杆角度权重对响应曲线的影响随着Q33的增大，角度曲线的绝对超调减小，但是相应的导致了稳态时间的增加；小车位置相应曲线超调减小，同样的也是稳态时间增加了。而且可以看出，Q33对小车位置曲线的影响远不如Q11和Q22对小车位置响应的影响。(4)分析摆杆角速度的权重对响应曲线的影响小车速度权重Q44分别取为2、20、200、1000时得到角度与位置随时间变化曲线如图1-8所示由图1-8可知，随着Q44的增大，角度变化曲线稳态时间有一定程度的增加，曲线变化稍见平缓，即曲线斜率的最大值变小了，但绝对超调基本没变；小车位置的响应特性随Q44的增大而变坏，绝对超调大幅上升，稳态时间也明显变长。0246810-4-20246810t(s)(°)角度变化曲线Q22=2Q22=20Q22=200Q22=10000246810-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050t(s)x(m)位置变化曲线Q22=2Q22=20Q22=200Q