倒立摆的自动控制原理课程设计

1全校通识课课程考核科目：倒立摆的自动控制原理课程设计教师：姓名：学号：2010专业：2010级自动化5班上课时间：2013年3月至2013年5月学生成绩：教师(签名)重庆大学制2目录1引言....................................................................32数学模型的建立..........................................................42.1倒立摆数学模型的建立..............................................43未校正前系统的时域分析..................................................74根轨迹校正..............................................................94.1原系统的根轨迹分析................................................94.2串连超前系统的设计................................................104.2.1确定闭环期望极点的位置......................................104.2.2超前校正传递函数设计........................................114.2.3校正参数计算................................................114.2.4超前校正控制器..............................................124.2.5matlab环境下串联超前校正后的根轨迹图.......................125倒立摆系统频域分析.....................................................146频域法校正.............................................................166.1频域法控制器设计..................................................166.1.1控制器的选择................................................176.1.2系统开环增益的计算..........................................176.1.3画bode图和Nyquist图.......................................176.1.4计算和T求解校正装置......................................196.1.6matlab下作校正后系统的Bode图和Nyquist图.................206.1.7校正后系统的单位阶跃曲线....................................216.2串联滞后-超前校正装置设计........................................216.2.1控制器设计..................................................216.2.2matlab环境下的bode图和nyquist图.........................227PID控制器设计.........................................................247.1控制器设计过程....................................................248课程设计总结...........................................................2839参考资料...............................................................29倒立摆的自动控制原理课程设计1引言倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台，它在机器人技术、控制理论、计算机控制等自动控制领域，对多种技术的进行了有机结合。它具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，在经典控制理论学习理解以及现代科技方面，诸如半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行等有广泛的应用。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制。通过本次简单的倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常直观，简便。它可以在轻松的氛围下提高学生学习热情，充分调动学生积极性，达到理论与实践的有机统一，更好的学习知识！同时在设计的过程中多次用到了matlab中的simulink模块，可以让我们更好的学习计算机在控制系统中的巨大作用，更好的学习自动控制知识。倒立摆已经扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。本文是基于固高倒立摆系统已经建立好的传递函数，根据参数要求，通过根轨迹分析和频域分析等控制算法设计控制器，并通过实际检测，最后得到参数要求的控制器并且倒立后能承受一定的干扰。42数学模型的建立2.1倒立摆数学模型的建立直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。本文用机理建模的方法求取小车的传递函数（设实验环境器材等均处于理想状态）如图：M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到质心长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg·m2F加在小车上的力x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角图1直线一级倒立摆模型5N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量图2小车及摆杆受力分析小车水平方向的合力：NxbFxM(2.1)摆杆水平方向的合力：22sindxlNmdt(2.2)化简得：sincos2mlmlxmN(2.3)水平方向的运动方程：22sindxlNmdt(2.4)对摆杆垂直方向上的受力进行分析，可得垂直方向的运动方程：22cosdlPmgmdt(2.5)即：cossin2mlmlmgP(2.6)力矩平衡方程如下：6INlPlcossin(2.7)合并式（6）和（7）.，消去P和N得到第二个运动方程：cossin)(xmlmglmlI2(2.8)设，假设与1（单位均是rad）相比很小，即1，则可以进行如下近似：2cos1,sin,0ddt(2.9)用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：umlxbxmMxmlmglmlI)()(2(2.10)假设、x和它们的各阶导数的初始值均为零。对上式进行拉普拉斯变换，得到：22222ImlssmglsmlXssMmXssbXssmlssUS(2.11)由于角度为输出量，求解方程组的第一个方程，可以得到摆杆角度和小车位移的传递函数：222smlsXsImlsmgl(2.12)如果令xv，则摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：22smlVsImlsmgl(2.13)把上式代入方程组的第二个方程，得到：22222()()()()()()()ImlgImlgMmssbssmlssUsmlsmls7(2.14)整理后得到式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数：22432()()()()mlssqbImlMmmglbmglUsssssqqq（2.15）带入实际参数：M=1.096Kgm=0.109Kgb=0.1N/m/secl=0.25mI=0.0034kg·m2最后得到的最终表达式：摆杆角度和小车位移的传递函数：22()0.02725()0.01021250.26705ssXss(2.16)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：2()0.02725()0.01021250.26705sVss(2.17)摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32()2.35655()0.088316727.91692.30942ssUssss(2.18)小车位置和加速度的传递函数2()1()XsVss(2.19)3未校正前系统的时域分析本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，此时的传递函数为:826705.00102125.002725.0)()()(222smglsmlImlsVs(3.1)图3.1摆杆角度的单位阶跃响应曲线图采用以小车的加速度作为系统的输入，小车位置为响应，则此时的传递函数为2()1()XsVss(3.1）9图3.2小车位置的单位阶跃响应曲线图由于以上时域分析中所有的传递函数的响应图都是发散的，说明系统不稳定，需加控制器进行校正4根轨迹校正4.1原系统的根轨迹分析以小车的加速度为系统输入，摆杆角度为输出。前面已得到系统传递函数为：26705.00102125.002725.0)()()(222smglsmlImlsVs(4.1)4.1原系统根轨迹曲线图其中：z=0，0p=5.1136，-5.1136可以很直观地看出，系统有两个零点，有两个极点，并且有一个极点为正。画出系统闭环传递函数的根轨迹如图3-6，可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且10有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统不稳定。4.2串连超前系统的设计设计后的参数要求：调整时间：0.5(2%)sts最大超调量：4.2.1确定闭环期望极点的位置由最大超调量2(/1)10%pe(4.2)4.2闭环主导极点所在的极坐标图在此我们对超调量留有一定余量，令%6%p可以得到：8379.0由cos可以得到：5806.0(弧度)其中为位于第二象限的极点和O点的连线与实轴负方向的夹角。又由：40.5snts其中为位于第二象限的极点和O点的连线与实轴负方向的夹角。又由：40.5snts%10%p11对调节时间留有一定余量，令40.5snts(±2%的误差带)取其为0.3s，可以得到：9299.15n，于是可以得到期望的闭环主导极点为：(cossin)nj代入数据后，可得期望的闭环主导极点为：13.3589j8.67604.2.2超前校正传递函数设计未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因