倒立摆研究报告

基于LQR控制的二级倒立摆系统研究作者：牛娟031210308王晨琳031210307王鹤彬031210312学院：自动化指导老师：王晶、陆宁云摘要倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。本文采用最优控制的方法设计二级倒立摆系统的控制器。首先简要介绍了倒立摆以及倒立摆的几种常见控制方法，着重介绍了最优控制理论，其次对二级倒立摆系统进行了数学建模，最后对线性二次型最优控制原理进行了分析并使用MATLAB进行了仿真。关键词：二级倒立摆，最优控制目录一、绪论............................................................................................................................31.1、倒立摆系统简介....................................................................................................31.2、倒立摆系统的控制算法........................................................................................31.3、小结........................................................................................................................4二、直线倒立摆的建模....................................................................................................42.1、直线二级倒立摆的建模..............................................................................................42.2、直线二级倒立摆的定性分析......................................................................................6三、基于MATLAB的LQR仿真.......................................................................................93.1、最优控制（LQR）简介...............................................................................................93.2、线性二次型最有调节器原理......................................................................................93.3、MATLAB仿真.............................................................................................................103.4、SIMULINK仿真...........................................................................................................11四、结束语......................................................................................................................134.1、小结............................................................................................................................134.2、未解决问题展望........................................................................................................13五、附录..........................................................................................................................13一、绪论1.1、倒立摆系统简介倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。在控制理论发展的过程中，某种控制理论的正确性及可行性需要通过设计一个控制器去控制一个典型的控制对象去加以验证。倒立摆系统正是这样一种比较典型的控制对象。最简单的倒立摆可由一个可在水平轨道上自由移动的小车和倒置摆铰链组成。倒立摆的种类繁多，分类方法也多种多样：按结构来分有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆；按级数来分有一级摆，二级摆，三级摆乃至更高级摆；按运动轨道来分有水平轨道倒立摆，倾斜轨道倒立摆；按控制电机数目来分有单电机倒立摆，多电机倒立摆。本文所研究的是直线二级倒立摆系统。正因为倒立摆是一个复杂的多变量、高度非线性、强耦合和快速运动的不稳定的系统，必须采取有效的控制方法才能使其稳定在平衡位置附近。倒立摆的控制过程能有效地反映许多控制中的关键问题，如系统的非线性问题，鲁棒性问题，跟踪问题等等。因此，对倒立摆系统的控制研究具有重要的理论意义。倒立摆的研究也具有深厚的工程背景。任何重心在上，支点在下的控制问题都可近似化为一种倒立摆模型。例如，火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制，飞机着陆时的稳定控制，机器人行走过程中的平衡控制，各类伺服云台的稳定控制等等。因此对倒立摆的研究也具有重要的应用价值。1.2、倒立摆系统的控制算法从上世纪五十年代起，国外科学家开始了对倒立摆系统的研究。1966年Schaefer和cannon就应用Bang—Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置，实现了单级倒立摆的稳定控制。此后，各国科学家提出了各种不同的控制方法实现对倒立摆的控制。早期的倒立摆控制大多采用状态反馈，随着智能控制理论的发展，人们逐渐将模糊控制算法、神经网络理论等智能控制理论用于控制倒立摆。目前，倒立摆常见的控制方法有如下几种：(1)经典控制理论的方法一级倒立摆系统的控制对象是一个单输入两输出的非最小相位系统，提供了用经典控制理论解决单输入多输出系统的控制方法。根据对系统的力学分析，用牛顿第二定律，建立倒立摆非线性的运动方程，并进行线性化，拉氏变换，获得传递函数，从而得到零、极点分布情况，使闭环系统能稳定工作的思想设计控制器。为此，引入适当的反馈，使得闭环系统特征方程的根都位于左平面上。由于经典控制理论本身的局限性，只能用来控制一级倒立摆，于复杂的二级、三级倒立摆却无能为力。(2)现代理论控制方法用现代控制理论方法的前提是倒立摆在平衡点附近，偏移小，系统可以近似用线性模型来描述。将倒立摆系统的非线性化的模型在系统平衡点附近进行近似线性化处理得到线性化的模型，然后再利用线性系统控制器设计方法得到控制器。用这类控制方法对于一、二级倒立摆进行稳定控制，可以得到较好的效果，但对于三级及三级以上的倒立摆系统，有很大局限性。现代控制的典型方法有：状态反馈控制、LQR控制算法等。(3)神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，能够学习与适应严重不确定性的系统的动态特性，所有定量与定性的信息都等势分布贮存在网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性。但神经网络控制方法的局限性在于缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指导性原则。神经网络的权系数常采用反向传播算法来学习，BP算法是沿着梯度下降来指导搜索，易于陷入局部极小值点，且求解精度不高。(4)模糊控制理论是智能控制中常用的一种算法，其产生于二十世纪六十年代，是美国加利福尼亚U.C.Berkkley学校的自动控制理论专家扎德教授首先提出的，主要是为了克服过程本身的不确定性、不精确性。因此在处理复杂系统的大时滞、时变及非线性方面显示出了极大的优越性。经典的模糊控制器利用模糊集合理论，其设计不依靠对象精确数学模型。模糊控制的方法对一级、二级倒立摆有较好的控制效果。多级倒立摆是一个多变量系统，一般采用多个模糊控制器来实现。但这样的控制方法，控制器多，控制规则复杂，可调参数也多，实现困难。1.3、小结本文主要研究二级倒立摆的数学模型的建立与分析，对倒立摆系统进行LQR仿真。就以下几个问题进行了论述。(1)二级倒立摆的数学模型的建立与分析。在建模部分，首先采用拉格朗日方程推导数学模型，对系统的可控性可观性进行分析。(2)二级倒立摆的控制原理及方法的研究。本文主要研究用线性二次型最优控制对系统的稳定性进行控制。(3)利用Matlab进行仿真，分析仿真结果。(4)对论文所作的工作进行总结，并提出该研究课题未来可能的发展方向。二、直线倒立摆的建模2.1、直线二级倒立摆的建模本章利用拉格朗日方程方法建立了直线二级倒立摆系统的微分方程，并在平衡位置附近进行线性化处理，推导出两种直线二级倒立摆系统的状态方程和输出方程，然后应用线性系统相关理论对直线二级倒立摆系统进行了定性分析。为了数学模型上的推导和处理问题方便，们忽略了系统的一些次要因素，具体可表示为以下几个假设：1、摆杆1、2都是在运动中不变形的刚体，没有在与滑轨成垂直方向上的前后运动2、带轮与传动带之间无相对滑动，动带无伸长现象3、忽略导轨与车轮之间的摩擦，摩擦阻力等4、假设杆的质心在均质杆的中点所采用的系统参数如下表：m0小车质量:1.32kgm1摆杆1质量:0.06kgl1摆杆1转动中心到质心的距离:100mmm2摆杆2质量:0.13kgl2摆杆2转动中心到质心的距离:250mmm3质量块质量:0.27kgF作用在小车上的加速度1摆杆1和垂直方向夹角2摆杆2和垂直方向夹角利用拉格朗日方程推倒运动学方程：LTV其中L为拉格朗日算子，T为系统动能，V为系统的势能小车的动能：20012Tmx杆1的动能：221111111mv22TJ杆2的动能：222222211mv22TJ连接块的动能：23331mv2T系统的总动能：：0123TTTTT系统的势能：11131111222mcos2mcos(2cosgcos)mVglglgll其中：22111vxy、22222vxy、22333vxy21111/3mJl、22221/3mJl111sinxxl、111cosyl211222sinsinxxll、211222coscosyll3112sinxxl、3112cosylF=ux根据拉格朗日定理已知：()LdLxudxx11()0LdLdx22()0LdLdx得出：120123112131222221211213111213121211213112122221222222(mmmm)(m2ml2ml)(m2ml2ml)(4/3m4ml4ml)2(m2